Questão 86 Unesp 2022 - 1ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 86

Função Modular Inequação com duas variáveis

A soma de dois números reais $x$ e $y$ é maior ou igual a 10. A diferença entre eles, em qualquer ordem, é menor do que 4. A representação do conjunto solução dessas desigualdades no plano cartesiano de eixos ortogonais é:

a)
b)
c)
d)
e)

Resolução

O fato da soma dos dois números ser maior ou igual a 10 pode ser expresso através da seguinte inequação:

$(I) x + y \geq 10$

cuja representação no plano cartesiano é

(note que a reta destacada é dada pela equação $y = 10 - x$ e a região em amarelo contém todos os pontos do plano cartesiano tais que a coordenada $y$ é maior que $10 - x$ ).

Já a informação "A diferença entre eles, em qualquer ordem, é menor do que 4" pode ser descrita pela inequação

$(II) |x - y| < 4$ ,

onde o módulo se faz necessário para contemplar as duas diferenças possíveis: $x - y$ e $y - x$ .

Lembrando que $|a| < n \Rightarrow - n < a < n$ para quaisquer $a \in ℝ$ e $n \in ℝ_{+}^{*}$ , temos que a inequação $(II)$ pode ser reescrita como

$- 4 < x - y < 4$

O que nos fornece as inequações $y < x + 4$ e $y > x - 4$ que são representadas graficamente, por:

(onde as retas pontilhadas se referem às equações $y = x + 4$ e $y = x - 4$ e a região entre elas satisfaz as duas inequações simultaneamente).

Como os valores de $x$ e $y$ precisam satisfazer as inequações $(I)$ e $(II)$ ao mesmo tempo, procuramos pela interseção dos dois gráficos, que é dada na alternativa a, com a ressalva de que a alternativa não indicou que os vértices da figura formada não pertencem ao conjunto solução, uma vez que não satisfazem a inequação $(II)$ , conforme ilustrado na geometricamente figura abaixo):