Questão 89 Unesp 2022 - 1ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 89

Pirâmides

A figura indica o projeto de uma escultura maciça em forma de pirâmide de vértice $V$ , base $ABCDEFGH$ e altura $\bar{VH}$ , que será feita com espuma expansiva rígida de poliuretano. Sabe-se que $AHGF$ é um quadrado de área igual a $3 m^{3}$ , $BCDE$ é um retângulo, com $BC = 3 m$ e $CD = 4$ , e que o ângulo $H \hat{G} V$ mede $60 °$ .

Sabendo que $1 m^{3}$ corresponde a 1000 litros e que o custo da quantidade de espuma de poliuretano necessária para ocupar a capacidade de 1 litro é de R$ 5,00, para fazer por completo essa escultura, desconsiderando desperdícios, o valor gasto com espuma será de

a)	R$ 40.000,00.
b)	R$ 37.500,00.
c)	R$ 42.500,00.
d)	R$ 35.000,00.
e)	R$ 45.000,00.

Resolução Sugerimos anulação

A questão apresenta um problema em seu enunciado, ao não informar a unidade de medida quando descreve o comprimento do segmento $\bar{CD}$ , dizendo apenas que $CD = 4$ . Sem essa informação da unidade de medida, não há como calcular o volume da pirâmide em questão, e consequentemente, também não há como calcular o custo da espuma que será empregada no seu preenchimento. Em função da ausência dessa informação, e prezando sempre pelo rigor nos enunciados das questões, sugerimos a anulação da questão.

Supondo que o enunciado pretendia informar que $CD = 4 metros$ , já que todas as demais medidas estão na unidade metros, apresentamos a seguir o que imaginamos que a banca esperava como resolução da questão.

Sendo $\bar{GH}$ um dos lados do quadrado $AHGF$ , que tem área $A_{AHGF} = 3 m^{2}$ , segue que:

$GH = \sqrt{A_{AHGF}} = \sqrt{3} m$

Assim, no triângulo retângulo $GHV$ , temos que:

$tg 60 ° = \frac{VH}{GH} \Leftrightarrow \sqrt{3} = \frac{VH}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow VH = 3 m$

Por outro lado, com a ressalva de que estamos supondo que $CD = 4 metros$ , a área do retângulo $BCDE$ pode ser calculada por:

$A_{BCDE} = BC \cdot CD = (3 m) \cdot (4 m) = 12 m^{2}$

Assim, a base $ABCDEFGH$ da pirâmide tem área dada por:

$A_{ABCDEFGH} = A_{BCDE} - A_{AHGF} = 12 - 3 = 9 m^{2}$

Logo, a pirâmide $VABCDEFGH$ em questão tem volume dado por:

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABCDEFGH} \cdot VH = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 (m^{3}) = 9 m^{3} = 9.000 litros$

Sendo de R$ 5,00 o custo da quantidade de espuma de poliuretano necessária para ocupar cada 1 litro da pirâmide, o custo total com a espuma é:

$9.000 litros \cdot \frac{R $ 5, 00}{litro} = R $ 45.000, 00$