Fuvest 2020 - 1ª fase

Questão 11 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Mudança de Estado Físico Diagrama de Fases

Em supermercados, é comum encontrar alimentos chamados de liofilizados, como frutas, legumes e carnes. Alimentos liofilizados continuam próprios para consumo após muito tempo, mesmo sem refrigeração. O termo “liofilizado”, nesses alimentos, refere‐se ao processo de congelamento e posterior desidratação por sublimação da água. Para que a sublimação da água ocorra, é necessária uma combinação de condições, como mostra o gráfico de pressão por temperatura, em que as linhas representam transições de fases.

Apesar de ser um processo que requer, industrialmente, uso de certa tecnologia, existem evidências de que os povos précolombianos que viviam nas regiões mais altas dos Andes conseguiam liofilizar alimentos, possibilitando estocá‐los por mais tempo. Assinale a alternativa que explica como ocorria o processo de liofilização natural:

a)	A sublimação da água ocorria devido às baixas temperaturas e à alta pressão atmosférica nas montanhas.
b)	Os alimentos, após congelados naturalmente nos períodos frios, eram levados para a parte mais baixa das montanhas, onde a pressão atmosférica era menor, o que possibilitava a sublimação.
c)	Os alimentos eram expostos ao sol para aumentar a temperatura, e a baixa pressão atmosférica local favorecia a solidificação.
d)	As temperaturas eram baixas o suficiente nos períodos frios para congelar os alimentos, e a baixa pressão atmosférica nas altas montanhas possibilitava a sublimação.
e)	Os alimentos, após congelados naturalmente, eram prensados para aumentar a pressão, de forma que a sublimação ocorresse

Resolução

A sublimação é a passagem direta do estado sólido para o estado vapor. Portanto, para identificar em que condições essa mudança de estado físico ocorre, deve-se encontrar no diagrama de fases da água a linha que representa a coexistência entre as fases sólida e vapor. Essa linha está destacada em vermelha no diagrama abaixo:

Nota-se que, para que ocorra a sublimação, a água deve estar em baixas temperaturas e a pressão deve variar de um valor mais alto para um mais baixo, como indicado pela seta azul no diagrama a seguir:

Analisando as alternativas, temos que:

a) Incorreta. Nas partes altas montanhas, as temperaturas são baixas e as pressões também são baixas, e não altas, como descrito no texto da alternativa.

b) Incorreta. Ao levar os alimentos congelados para a parte mais baixa das montanhas, onde a pressão é maior, e não menor (como descrito no texto da alternativa), ocorre a variação de uma região de baixas pressões (alto da montanha) para baixas pressões (parte baixa da montanha), sendo que, de acordo com o indicado pela seta no diagrama de fases da água, deveria acontecer o inverso para que ocorresse a sublimação: em baixas temperaturas, a água deveria passar de uma região de altas pressões para baixas pressões.

c) Incorreta. Para que a sublimação ocorra, as temperaturas devem ser baixas, como mostrado no diagrama de fases. Ao expor os alimentos ao sol, estaremos aumentando a sua temperatura, indo em direção às condições em que a sublimação não ocorre.

d) Correta. As baixas temperaturas congelavam a água dos alimentos e quando eles eram levados para o alto das montanhas ocorria uma variação na pressão, partindo de pressões maiores (parte baixa das montanhas) para pressões menores (alto das montanhas), condições ideais para que ocorresse a sublimação, conforme observado pela seta azul do diagrama de fases da água.

e) Incorreta. Para que a sublimação ocorra, a pressão deve variar de valores mais altos para mais baixos. Ao prensar os alimentos, estamos saindo de valores de pressão menores para valores maiores, o que é o inverso do necessário para que a sublimação aconteça.

Questão 12 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Mistura de soluções de solutos diferentes com reação pH e pOH

Para exemplificar probabilidade, um grupo de estudantes fez uma atividade envolvendo química, conforme o procedimento descrito.

Cada estudante recebeu um recipiente contendo 800 mL de água destilada com algumas gotas do indicador de pH alaranjado de metila e soluções de HCl e NaOH em diversas concentrações.

Cada estudante deveria jogar apenas uma vez dois dados, um amarelo e um vermelho, ambos contendo os números de 1 a 6.

Ao jogar o dado vermelho, o estudante deveria adicionar ao recipiente 100 mL de solução do ácido clorídrico na concentração 10⁻ⁿ mol/L, sendo n o número marcado no dado (por exemplo, se saísse o número 1 no dado, a solução seria de 10⁻¹ mol/L; se saísse 6, a solução seria de 10⁻⁶ mol/L).
Ao jogar o dado amarelo, o estudante deveria executar o mesmo procedimento, mas substituindo o ácido por NaOH, totalizando assim 1,0 L de solução.
O estudante deveria observar a cor da solução ao final do experimento.

A professora mostrou a tabela com alguns valores de pH resultantes conforme os números tirados nos dados. Ela pediu, então, aos estudantes que utilizassem seus conhecimentos e a tabela para prever em quais combinações de dados a cor final do indicador seria vermelha.

A probabilidade de, após realizar o procedimento descrito, a solução final preparada por um estudante ser vermelha é de:

a)	$\frac{1}{12}$
b)	$\frac{1}{6}$
c)	$\frac{1}{4}$
d)	$\frac{11}{36}$
e)	$\frac{5}{12}$

Resolução

Observando a tabela, temos que o número total de misturas possíveis é 36. Para a mudança de cor do indicador, é necessário que o pH após a mistura das soluções seja inferior a 3,3.

A reação que ocorre é: $H C l + N a O H \to N a C l + H_{2} O$

Na diagonal da tabela, temos 7,0, pois se utiliza volumes iguais das duas soluções (100 mL) e de mesma concentração. Como temos a proporção 1HCl : 1NaOH, ocorre a neutralização sem excesso de nenhum dos reagentes.

Para que o pH seja menor que 3,3, devemos ter um excesso de ácido na mistura, ou seja, a concentração de ácido utilizado na mistura deve ser maior que a concentração da base, uma vez que o volume de ambos é igual. Assim, podemos pensar em preencher apenas as lacunas destacadas em azul abaixo:

Os valores que completam a primeira linha, serão intermediários entre 2,1 e 2,0 e por isso nem precisam ser calculados. O indicador nessas misturas ficará vermelho.

Na segunda linha, os valores de pH vão diminuindo em relação ao 3,1, pois a quantidade de ácido é a mesma enquanto a de base será menor devido à concentração mais baixa usada. Portanto todas essas misturas apresentaram coloração vermelha.

Na terceira linha, a partir do pH igual a 7,0, a adição de ácido terá a mesma concentração enquanto a base utilizada será menos concentrada, tendo excesso de ácido, reduzindo o pH até o último valor dado de 4,1. Assim, nenhuma dessas misturas terá pH inferior a 3,3.

Para a quarta linha, podemos inferir que se nas misturas da linha de cima não temos excesso de ácido suficiente para gerar um pH inferior a 3,3 utilizando solução ácida mais concentrada, portanto nessas misturas o pH será inferior a 7,0 mas maior que 3,3.

Portanto, temos 9 misturas com coloração vermelha (pH<3,3) dentre 36 possíveis:

$P = \frac{c a s o s f a v o r á v e i s}{c a s o s t o t a i s} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Questão 13 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Probabilidade

Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas E, F e G fazem caminhos diversos, passando por pelo menos uma das cidades B, C e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura. Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de se ir de uma cidade a outra.

Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é

a)	0,120.
b)	0,216.
c)	0,264.
d)	0,336.
e)	0,384.

Resolução

Podemos notar que para o carro ir de A até F, ele pode percorrer 3 caminhos distintos:

I. Caminho ACF

A probabilidade do carro fazer o caminho ACF é:

$P_{A C F} = 0, 2 \cdot 0, 6 = 0, 12$

II. Caminho ABCF

A probabilidade do carro fazer o caminho ABCF é:

$P_{A B C F} = 0, 8 \cdot 0, 1 \cdot 0, 6 = 0, 048$

III. Caminho ABDF

A probabilidade do carro fazer o caminho ABDF é:

$P_{A B D F} = 0, 8 \cdot 0, 9 \cdot 0, 3 = 0, 216$

Como os eventos acima são mutuamente exclusivos, a probabilidade do carro sair de A e ir até F é igual à soma das probabilidades calculadas em cada um dos casos acima.

Portanto, temos:

$P_{A F} = 0, 12 + 0, 048 + 0, 216 \Rightarrow P_{A F} = 0, 384$

Questão 14 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Matemática Financeira

Se, em 15 anos, o salário mínimo teve um aumento nominal de 300% e a inflação foi de 100%, é correto afirmar que o aumento real do salário mínimo, nesse período, foi de

a)	50%.
b)	100%.
c)	150%.
d)	200%.
e)	250%.

Resolução

Podemos entender a taxa de juros nominal como sendo a taxa de juros declarada de uma operação financeira.

Já a taxa de juros real, é a taxa de juros nominal descontando-se a inflação no período (leva-se em conta a perda do poder aquisitivo do salário).

Desse modo, imaginando que no ano zero o salário mínimo, $S_{0}$ , consiga comprar exatamente uma cesta de bens de preço $P_{0}$ , devemos analisar quantas cestas de bens no ano 15 o salário mínimo poderá comprar. Assim, temos:

$S_{15} = S_{0} \cdot (1 + 3) \Rightarrow S_{15} = 4 \cdot S_{0}$

$P_{15} = P_{0} \cdot (1 + 1) \Rightarrow P_{15} = 2 \cdot P_{0}$

Assim, a relação entre o salário mínimo e o preço da cesta de bens no ano 15 é:

$\frac{S_{15}}{P_{15}} = \frac{4 \cdot S_{0}}{2 \cdot P_{0}} \Rightarrow \frac{S_{15}}{P_{15}} = 2 \cdot \frac{S_{0}}{P_{0}}$

Logo, o poder aquisitivo do salário mínimo no ano 15 dobrou em relação ao ano 0.

Podemos, então, concluir que após 15 anos, o aumento real foi de 100%.

OBS: O aluno poderia utilizar de maneira imediata a relação entre juros nominal e juros real que é:

$i_{r e a l} = \frac{(1 + i_{n o m i n a l})}{(1 + i_{i n f l a ç ã o})} - 1 \Rightarrow i_{r e a l} = \frac{(1 + 3)}{(1 + 1)} - 1 \Rightarrow i_{r e a l} = 1 = 100 %$

Questão 15 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Progressão Aritmética Comprimento da Circunferência

O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de 0,01 cm e dá 100 voltas completas. Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente,

Note e adote: $π = 3, 14$ .

a)	9,4m.
b)	11,0m.
c)	18,8m.
d)	22,0m.
e)	25,1m.

Resolução

A primeira volta da fita está diretamente em contato com a parte externa do cilindro de papelão. Sendo assim, o comprimento de fita utilizado na primeira volta é igual ao comprimento de uma circunferência de raio $3 cm$ , ou seja,

$C_{1} = 2 π \cdot 3$ .

Como a fita possui espessura de $0, 01 cm$ , a segunda volta terá comprimento equivalente a uma circunferência de raio $3, 01 cm$ . Logo, as voltas subsequentes possuem comprimentos crescentes em progressão aritmética, sendo que a centésima volta tem comprimento igual a:

$C_{100} = 2 π \cdot r_{100} = 2 π \cdot 3, 99 cm$

Podemos então calcular o comprimento total da fita através da soma da progressão aritmética:

$S (100) = \frac{(C_{1} + C_{100}) \cdot 100}{2} = \frac{(2 π \cdot 3 + 2 π \cdot 3, 99) \cdot 100}{2} = 699 π cm$

Utilizando $π ≅ 3, 14$ , temos que o comprimento total da fita é, aproximadamente,

$C = 699 π = 2194, 86 cm ≅ 22 m$

Questão 16 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Áreas de quadriláteros

Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa‐se $θ$ , a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando $θ = 90 °$ é $A$ .

Para que a área da região delimitada seja $\frac{A}{2}$ , o valor de $θ$ é, necessariamente, igual a:

a)	15°.
b)	22,5°.
c)	30°.
d)	45°.
e)	60°.

Resolução

Sejam $x$ e $y$ o comprimento de duas hastes consecutivas que formam o paralelogramo e $0 < θ \leq 90 º$ o ângulo entre elas. Ao dividir o paralelogramo por uma de suas diagonais, obtemos dois triângulos congruentes.

Logo, sua área é dada por

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot sen θ = x \cdot y \cdot sen θ$

Para $θ = 90 º$ , temos

$A = x \cdot y \cdot sen 90 º = x \cdot y$

Para que a área do paralelogramo seja igual a $\frac{A}{2}$ , devemos ter

$x \cdot y \cdot sen θ = \frac{A}{2} \Leftrightarrow x \cdot y \cdot sen θ = \frac{x \cdot y}{2} \Leftrightarrow sen θ = \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 30 º$

Questão 17 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Inscrição e Circunscrição de Sólidos

A menor esfera na qual um paralelepípedo reto‐retângulo de medidas 7 cm × 4 cm × 4 cm está inscrito tem diâmetro de

a)	9 cm.
b)	10 cm.
c)	11 cm.
d)	12 cm.
e)	15 cm.

Resolução

A condição para que um paralelepípedo reto-retângulo esteja inscrito numa esfera é que sua diagonal seja um diâmetro dessa esfera.

Seja o paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH inscrito numa esfera de centro O, como na figura a seguir.

A diagonal do paralelepípedo mede $\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 7^{2}} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ cm.

Portanto, o diâmetro da esfera deve ser 9 cm também.

Questão 18 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Função Quadrática

A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?

a)	R$ 2.000,00
b)	R$ 3.200,00
c)	R$ 3.600,00
d)	R$ 4.000,00
e)	R$ 4.800,00

Resolução

Veja que a cada redução de R$ 1,00, a dona da lanchonete vende 100 combos a mais. Desse modo, podemos encontrar a seguinte tabela:

Considere $x$ o total de reais reduzidos pela dona da lanchonete. Daí, pela tabela acima, podemos concluir que a receita dessa lanchonete é dada por:

$R = p r e ç o u n i t á r i o \cdot q u a n t i d a d e d i á r i a \Leftrightarrow R (x) = (10 - x) \cdot (200 + 100 x) \Leftrightarrow R (x) = - 100 x^{2} + 800 x + 2000$

Como queremos o valor máximo da arrecadação diária, precisamos calcular o valor da ordenada do ponto máximo, ou seja, $y$ do vértice. Assim, temos:

$y_{V} = - \frac{△}{4 a} = - \frac{[800^{2} - 4 \cdot (- 100) \cdot 2000]}{4 \cdot (- 100)} \Rightarrow y_{V} = 3600$

Logo, o valor máximo da arrecadação diária é $3600 r e a i s$ .

Questão 19 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Divisibilidade

A função $E$ de Euler determina, para cada número natural $n$ , a quantidade de números naturais menores do que $n$ cujo máximo divisor comum com $n$ é igual a 1. Por exemplo, $E$ (6) = 2 pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de $E (n)$ , para $n$ de 20 a 25?

a)	19
b)	20
c)	22
d)	24
e)	25

Resolução

Segundo o exemplo do enunciado, temos que $E (6) = 2$ , já que $m d c (6, 1) = 1$ , $m d c (6, 2) = 2$ , $m d c (6, 3) = 3$ , $m d c (6, 4) = 2$ e $m d c (6, 5) = 1$ , ou seja, os números 1 e 5 são os únicos naturais menores que 6 cujo máximo divisor comum com 6 é 1.

Podemos dizer que um número $a$ é primo com $b$ quando $m d c (a, b) = 1$ , ou seja, quando não possuem fatores em comum em sua decomposição em fatores primos.

Para $n = 20$ encontramos $n = 2^{2} \cdot 5$ , portanto todos os naturais menores que 20 que tiverem 2 e/ou 5 como fator em sua decomposição não serão primos com 20, e, consequentemente, o máximo divisor comum é diferente de 1.

Número $n$	Decomposição de $n$ em fatores primos	Números naturais menores do que $n$ cujo máximo divisor comum é 1	$E (n)$
20	$2^{2} \cdot 5$	1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19	$E (20) = 8$
21	$3 \cdot 7$	1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20	$E (21) = 12$
22	$2 \cdot 11$	1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21	$E (22) = 10$
23	$23$	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	$E (23) = 22$
24	$2^{3} \cdot 3$	1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23	$E (24) = 8$
25	$5^{2}$	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24	$E (25) = 20$

Por definição, um número natural $p$ é primo quando tem exatamente quatro divisores inteiros: 1, -1, $p$ e $- p$ . Observe que no intervalo pedido, o único primo é 23.

Ao analisar os números naturais menores que $p$ , todos têm máximo divisor comum com $p$ igual a 1, portanto $E (p) = p - 1$ .

Então seria possível concluir sem listar casos que $E (23)$ tem o valor máximo já que 23 é o único primo e os números 24 e 25 tem mais do que 2 divisores

Portanto o valor máximo de $E (n)$ , para $n$ de 20 a 25 é 22.

Questão 20 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Polinômio

Se $3 x^{2} - 9 x + 7 = {(x - a)}^{3} - {(x - b)}^{3}$ , para todo número real $x$ , o valor de $a + b$ é

a)	3.
b)	5.
c)	6.
d)	9.
e)	12.

Resolução

Desenvolvendo o segundo membro da igualdade, temos que a expressão ${(x - a)}^{3} - {(x - b)}^{3}$ é uma diferença de cubos, logo pode ser fatorada como:

${(x - a)}^{3} - {(x - b)}^{3} = ((x - a) - (x - b)) \cdot ({(x - a)}^{2} + (x - a) (x - b) + {(x - b)}^{2}) \Leftrightarrow {(x - a)}^{3} - {(x - b)}^{3} = (b - a) \cdot (x^{2} - 2 a x + a^{2} + x^{2} - a x - b x + b^{2} + x^{2} - 2 b x + b^{2}) \Leftrightarrow {(x - a)}^{3} - {(x - b)}^{3} = (b - a) \cdot (3 x^{2} - 3 \cdot (a + b) \cdot x + a^{2} + b^{2})$

Analisando a igualdade de polinômios, temos que:

$3 x^{2} - 9 x + 7 = (b - a) \cdot (3 x^{2} - 3 \cdot (a + b) \cdot x + a^{2} + b^{2}) \Leftrightarrow 3 x^{2} - 9 x + 7 = 3 \cdot (b - a) \cdot x^{2} - 3 \cdot (b - a) \cdot (a + b) \cdot x + (b - a) \cdot (a^{2} + b^{2})$

Igualando os coeficientes de $x^{2}$ , encontramos:

$3 \cdot (b - a) = 3 \Leftrightarrow b - a = 1$ .

Ao estudar os coeficientes de $x$ temos que $- 3 \cdot (b - a) \cdot (a + b) = - 9$ . No entanto, já deduzimos que anteriormente que $b - a = 1$ .

Portanto $- 3 \cdot (a + b) = - 9 \Leftrightarrow a + b = 3$ .