Questão 20 Fuvest 2020 - 1ª fase

Desenvolvendo o segundo membro da igualdade, temos que a expressão ${\left(x-a\right)}^3-{\left(x-b\right)}^3$ é uma diferença de cubos, logo pode ser fatorada como:

$$\begin{gathered} {\left(x-a\right)}^3-{\left(x-b\right)}^3=\left(\left(x-a\right)-\left(x-b\right)\right)·\left({\left(x-a\right)}^2+\left(x-a\right)\left(x-b\right)+{\left(x-b\right)}^2\right)\iff \\ {\left(x-a\right)}^3-{\left(x-b\right)}^3=\left(b-a\right)·\left(x^2-2ax+a^2+x^2-ax-bx+b^2+x^2-2bx+b^2\right)\iff \\ {\left(x-a\right)}^3-{\left(x-b\right)}^3=\left(b-a\right)·\left(3x^2-3·\left(a+b\right)·x+a^2+b^2\right) \end{gathered}$$

Analisando a igualdade de polinômios, temos que:

$$\begin{gathered} 3x^2-9x+7=\left(b-a\right)·\left(3x^2-3·\left(a+b\right)·x+a^2+b^2\right)\iff \\ 3x^2-9x+7=3·\left(b-a\right)·x^2-3·\left(b-a\right)·\left(a+b\right)·x+\left(b-a\right)·\left(a^2+b^2\right) \end{gathered}$$

Igualando os coeficientes de $x^2$, encontramos:

$3·(b-a)=3\iff b-a=1$.

Ao estudar os coeficientes de $x$ temos que $-3·\left(b-a\right)·\left(a+b\right)=-9$. No entanto, já deduzimos que anteriormente que $b-a=1$.

Portanto $-3·\left(a+b\right)=-9\iff \boxed{a+b=3}$.