Questão 15 Fuvest 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 15

Progressão Aritmética Comprimento da Circunferência

O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de 0,01 cm e dá 100 voltas completas. Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente,

Note e adote: $π = 3, 14$ .

a)	9,4m.
b)	11,0m.
c)	18,8m.
d)	22,0m.
e)	25,1m.

Resolução

A primeira volta da fita está diretamente em contato com a parte externa do cilindro de papelão. Sendo assim, o comprimento de fita utilizado na primeira volta é igual ao comprimento de uma circunferência de raio $3 cm$ , ou seja,

$C_{1} = 2 π \cdot 3$ .

Como a fita possui espessura de $0, 01 cm$ , a segunda volta terá comprimento equivalente a uma circunferência de raio $3, 01 cm$ . Logo, as voltas subsequentes possuem comprimentos crescentes em progressão aritmética, sendo que a centésima volta tem comprimento igual a:

$C_{100} = 2 π \cdot r_{100} = 2 π \cdot 3, 99 cm$

Podemos então calcular o comprimento total da fita através da soma da progressão aritmética:

$S (100) = \frac{(C_{1} + C_{100}) \cdot 100}{2} = \frac{(2 π \cdot 3 + 2 π \cdot 3, 99) \cdot 100}{2} = 699 π cm$

Utilizando $π ≅ 3, 14$ , temos que o comprimento total da fita é, aproximadamente,

$C = 699 π = 2194, 86 cm ≅ 22 m$