Questão 16 Fuvest 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 16

Áreas de quadriláteros

Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa‐se $θ$ , a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando $θ = 90 °$ é $A$ .

Para que a área da região delimitada seja $\frac{A}{2}$ , o valor de $θ$ é, necessariamente, igual a:

a)	15°.
b)	22,5°.
c)	30°.
d)	45°.
e)	60°.

Resolução

Sejam $x$ e $y$ o comprimento de duas hastes consecutivas que formam o paralelogramo e $0 < θ \leq 90 º$ o ângulo entre elas. Ao dividir o paralelogramo por uma de suas diagonais, obtemos dois triângulos congruentes.

Logo, sua área é dada por

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot sen θ = x \cdot y \cdot sen θ$

Para $θ = 90 º$ , temos

$A = x \cdot y \cdot sen 90 º = x \cdot y$

Para que a área do paralelogramo seja igual a $\frac{A}{2}$ , devemos ter

$x \cdot y \cdot sen θ = \frac{A}{2} \Leftrightarrow x \cdot y \cdot sen θ = \frac{x \cdot y}{2} \Leftrightarrow sen θ = \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 30 º$