Unicamp 2022 - 1ª fase

a) Incorreta. O autor parte do pressuposto de que grupos sociais diversos já produzem e compartilham cultura, inclusive, de uma maneira bastante complexa devido aos avanços tecnológicos que experimentamos atualmente. Nesse sentido, o questionamento a respeito da defesa de uma cultura livre não passa por essa produção, mas pelo reconhecimento dos valores atribuídos a essas muitas culturas.

b) Incorreta. Os valores individuais e os direitos autorais são mencionados no texto no sentido de demonstrar o percurso histórico dos valores atribuídos à cultura ao longo do tempo. A defesa de uma cultura livre não passaria pelos valores individuais e pelos direitos autorais, hoje recursos já estabilizados e aceitos, de um modo geral.

c) Correta. O autor insere uma pergunta ao final do trecho apresentado para indicar uma provocação a respeito do que havia mencionado anteriormente: “tradições milenares no Extremo Oriente e em alguns povos originários da América Latina mostram que o mundo não é só o que chamamos de Ocidente e que as noções de cópia, original, livre e coletivo diferem entre culturas diversas”. Logo, se há culturas e valores muito diversos espalhados pelo mundo, como defender um conceito único que se aplique a todas as possibilidades? Nesse sentido, então, segundo o autor, para que pudéssemos de fato lidar com uma cultura livre, teríamos que considerar experiências e valores de outras culturas além da que prevalece no Ocidente.

d) Incorreta. A menção ao compartilhamento de bens culturais via tecnologia digital é feita no texto para a contextualização do cenário que temos atualmente e que resulta em um movimento complexo em relação à circulação da cultura. A ideia de uma cultura livre não questiona essa distribuição, mas os valores agregados a cada tipo de manifestação cultural.   

a) Correta. Os verbetes, publicados em glossário elaborado por uma agência que integra a Organização das Nações Unidas, apresentam definições dos termos “refugiado” e “migrante” de maneira a explicitar ao público (dado que essa é uma postagem feita em rede social) como a agência entende e usa cada um dos termos. O fato de esses termos estarem apresentados conjuntamente reforça a noção de que eles devem ser contextualizados, provavelmente por terem sentidos que podem se confundir e, ainda, por a agência acreditar que as diferenças entre eles devem ficar claras para o público geral.

b) Incorreta. A leitura dos dois verbetes permite que sejam identificadas justamente as diferenças ente eles, de maneira a esclarecer ao público quais são as especificidades de cada um dos termos. Não é correto, portanto, afirmar que há uma sinonímia (significados iguais ou muito parecidos) entre os dois termos.

c) Incorreta. Embora os termos tenham significados diferentes, não é correto afirmar que haja entre eles uma relação de antonímia, ou seja, de sentidos opostos. As especificidades de cada termo não são suficientes para criar uma oposição entre eles.

d) Incorreta. Os termos não são apresentados nas suas acepções figuradas, ou seja, são oferecidos os sentidos literais dos termos. Em nenhum momento, são apontados pelos verbetes usos que fujam das acepções tradicionais e objetivas das palavras ali definidas.  

Sejam $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ os números de doses adquiridas das vacinas Alfa,
Beta e Gama, respectivamente. De acordo com o enunciado, temos que:

$\left\{\begin{array}{l}\alpha +\beta +\gamma =5.000.000\\ 5\alpha +10\beta +20\gamma =40.000.000\\ \beta =3\gamma \end{array}\right.\begin{array}{c}\left(\mathrm{I}\right)\\ \left(\mathrm{II}\right)\\ \left(\mathrm{III}\right)\end{array}$

Substituindo (III) em (I) e (II), vem que:

$\left\{\begin{array}{l}\alpha +3\gamma +\gamma =5.000.000\\ 5\alpha +10·3\gamma +20\gamma =40.000.000\\ \beta =3\gamma \end{array}\right.\begin{array}{c}\left(\mathrm{I}\right)\\ \left(\mathrm{II}\right)\\ \left(\mathrm{III}\right)\end{array}\iff$$\left\{\begin{array}{l}\alpha +4\gamma =5.000.000\\ 5\alpha +50\gamma =40.000.000\\ \beta =3\gamma \end{array}\right.\begin{array}{c}\left(\mathrm{I}\right)\\ \left(\mathrm{II}\right)\\ \left(\mathrm{III}\right)\end{array}$

Multiplicando a equação (I) por $\frac{5}{2}$ e dividindo a equação (II) por 5, vem que:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{2}\alpha +10\gamma =12.500.000\\ \alpha +10\gamma =8.000.000\\ \beta =3\gamma \end{array}\right.\begin{array}{c}\left(\mathrm{I}\right)\\ \left(\mathrm{II}\right)\\ \left(\mathrm{III}\right)\end{array}$

Fazendo agora (I) – (II):

$\frac{5}{2}\alpha -\alpha =12.500.000-8.000.000\iff \frac{3}{2}\alpha =4.500.00\iff \boxed{\alpha =3.000.000}$

Por dia, a quantidade de gasolina que cada versão do modelo do carro consome é:

• versão a gasolina: $\frac{36 \mathrm{km}}{12 \mathrm{km}/\mathrm{L}}+\frac{{\displaystyle 56 \mathrm{km}}}{14 \mathrm{km}/\mathrm{L}}=3+4=7 \mathrm{L}$;
• versão híbrida: $\frac{36 \mathrm{km}}{18 \mathrm{km}/\mathrm{L}}+\frac{{\displaystyle 56 \mathrm{km}}}{16 \mathrm{km}/\mathrm{L}}=2+3,5=5,5 \mathrm{L}$.

Assim, a cada dia, a versão híbrida economiza $7-5,5=1,5 \mathrm{L}$ de gasolina, o que representa uma economia diária de dinheiro de:

$1,5 \mathrm{L}·\frac{\mathrm{R}\$ 5,00}{\mathrm{L}}=\mathrm{R}\$ 7,50$

Calculemos agora quantos dias ($n$) serão necessários para que essa economia seja maior que a diferença de preço entre as duas versões:

$n·7,5>180.000-150.000\iff n>\frac{30.000}{7,5}\iff n>4.000 \mathrm{dias}$

Em anos:

$\boxed{n>\frac{4.000}{365} \mathrm{anos}\approx 10,96 \mathrm{anos}}$

Dos gráficos, temos inicialmente que:

$\left\{\begin{array}{l}g\left(-1\right)=-1\\ f\left(1\right)=0\end{array}\right.$

Assim:

$f\left(g\left(-1\right)\right)-g\left(f\left(1\right)\right)=f\left(-1\right)-g\left(0\right)$

Novamente a partir dos gráficos, temos que:

$\left\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=2\\ g\left(0\right)=-2\end{array}\right.$

Logo:

$f\left(g\left(-1\right)\right)-g\left(f\left(1\right)\right)=f\left(-1\right)-g\left(0\right)=2-\left(-2\right)=\boxed{4}$

Temos:

• $a_1=1={10}^0$;
• $a_2=10={10}^1$;
• $a_3=100={10}^2$;
• $⋮$
• $a_{23}={10}^{22}$.

Observe que são 23 (e não 22) termos nessa sequência.

Em relação à média geométrica $M$ desses 23 termos, temos que:

$M=\sqrt[23]{{10}^0·{10}^1·{10}^2·\dots ·{10}^{22}}=\sqrt[23]{{10}^{0+1+2+\dots +22}}$

Sendo $S=0+1+2+\cdots +22$ a soma de 23 termos em progressão aritmética, tal soma será dada por:

$S=\frac{\left(0+22\right)·23}{2}=11·23$

Assim, a média geométrica $M$ pedida será dada por:

$M=\sqrt[23]{{10}^{11·23}}={10}^{\frac{11·23}{23}}=\boxed{{10}^{11}}$

Julgamos cada afirmação.

a) Falsa. Se tivermos $R_0=1,5$, por exemplo, que respeita a condição $R_0>1$, temos:

$I\left(1,5\right)=100·\left(\frac{1,5-1}{1,5}\right)=100·\frac{1}{3}\approx 33,3$,

ou seja a porcentagem mínima da população a ser imunizada é de aproximadamente 33,3%, menor que 50%.

b) Falsa. Fazendo $R_0=2$, por exemplo, que respeita a condição $R_0>1$, temos:

$I\left(2\right)=100·\left(\frac{2-1}{2}\right)=100·\frac{1}{2}=50$.

Comparando com os cálculos realizados na justificativa da alternativa (a), observamos que ao aumentarmos $R_0$ de 1,5 para 2, não houve redução da porcentagem mínima da população a ser imunizada.

c) Verdadeira. A função $I\left(R_0\right)$ pode ser reescrita como:

$I\left(R_0\right)=100·\left(\frac{R_0}{R_0}-\frac{1}{R_0}\right)=100·\left(1-\frac{1}{R_0}\right)=100-\frac{100}{R_0}$

A partir disso, temos que:

$R_{02}>R_{01}>1\iff \frac{1}{R_{02}}<\frac{1}{R_{01}}<1\iff -\frac{100}{R_{02}}>-\frac{100}{R_{01}}>-100\Rightarrow$

$100-\frac{100}{R_{02}}>100-\frac{100}{R_{01}}\iff I\left(R_{\mathit{02}}\right)>I\left(R_{\mathit{01}}\right)$,

ou seja, para $R_0>1$, a função $I\left(R_0\right)$ é estritamente crescente.

Podemos confirmar esse fato graficamente. O gráfico de $I\left(R_0\right)$ pode ser construído da seguinte maneira:

• partimos do gráfico da função $f:{\mathrm{ℝ}}^{*}\to \mathrm{ℝ}$ dada por $f\left(R_0\right)=\frac{1}{R_0}$, que vem a ser uma hipérbole;
• em seguida, passamos para o gráfico da função $g:{\mathrm{ℝ}}^{*}\to \mathrm{ℝ}$dada por $g\left(R_0\right)=-100·f\left(R_0\right)=-\frac{100}{R_0}$, gráfico esse que corresponde a dilatar 100 vezes o gráfico de $f$ na direção do eixo das ordenadas (efeito do fator 100), e também promover uma reflexão em torno do eixo das abscissas (efeito do fator $-1$).
• por fim, chegamos ao gráfico da função $I:]1,+\infty [\to \mathrm{ℝ}$ do exercício, que corresponderá a fazer $I\left(R_0\right)=100-\frac{100}{R_0}=f\left(R_0\right)+100$, o que graficamente se traduz numa translação do gráfico da função $g$ de 100 unidades no sentido positivo do eixo das ordenadas. Tal translação fica particularmente nítida na posição da assíntota horizontal desse gráfico, que se desloca de $I=0$ para $I=100$. A limitação do domínio ao intervalo $]1,+\infty [$ restringe o gráfico à linha contínua no desenho a seguir. 

Com essa sequência de passos, temos o gráfico:

d) Falsa. Para um dado $R_0$, teremos um valor único (portanto fixo) para $I\left(R_0\right)$, que é a porcentagem mínima da população a ser imunizada.

Para $R_0=2$, temos que:

$I\left(2\right)=100·\left(\frac{2-1}{2}\right)=50$

Isto é, para $R_0=2$, a porcentagem mínima da população que deve ser imunizada é de 50%.

Sendo de 80% a efetividade da vacina em questão, a porcentagem $x$ da população que deve ser vacinada é calculada por:

$\frac{50\%}{x}=80\%\iff x=\frac{50}{80}=0,625=\boxed{62,5\%}$

Considere o quadrilátero:

Sendo $P$, $Q$, R e T os pontos de tangência, então encontramos quatro pares de segmentos congruentes. Isto é, os pares de segmentos são tangentes a circunferência e, portanto, congruentes. Assim:

(1) $AT=AP=x$

(2) $BP=BQ=y$

(3) $CQ=CR=z$

(4) $DR=DT=w$

Pelo enunciado, temos que:

$DA=3=AT+DT\Rightarrow x+w=3$

E, ainda, temos que o segmento $TA=x$ é um número inteiro e que $DT=w\ne 0$, Desse modo, temos duas possíveis soluções para a equação acima: $x=1 e w=2$  ou $x=2 e w=1$. 

Mas, ainda pelo enunciado, sabemos que $AB$, $BC$ e $CD$ se encontram, nessa ordem, em PA crescente. Assim, concluímos que $AB$ é o menor segmento entre os três e que $x=TA$ assume o menor valor. Portanto:

Usando, novamente, a informação sobre os segmentos em PA, temos:

$PA\left(AB, BC, CD\right)=\left(1+y, y+z, z+2\right)$

E, aplicando a propriedade da PA:

$y+z=\frac{1+y+z+2}{2}\Rightarrow y+z=3$

Com o argumento análogo sobre o valor de $x=TA$  e $w=TD$, temos que $y<z$. E, daí: $y=1 e z=2$.

Portanto, as medidas dos lados são:

(1) $AB=1+y=1+1=2$

(2) $BC=y+z=3$

(3) $CD=z+2=2+2=4$

Para determinar a matriz B, precisamos encontrar a transposta de A:

$A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ k& k^2\end{array}\right)$

Assim, segue que: 

$B=A+A^T=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 3& k^2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ k& k^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3+k\\ 3+k& 2k^2\end{array}\right)$

Agora, para encontrarmos a alternativa correta, perceba que precisamos discutir o sistema linear, sendo B a matriz dos coeficientes deste sistema. Para que um sistema linear seja ou impossível (SI) ou sistema possível e indeterminado (SPI), precisamos determinar os valores de k para que $\det B=0$ .

Desse modo, temos:

$detB=0\iff \left|\begin{array}{cc}2& 3+k\\ 3+k& 2k^2\end{array}\right|=0\Rightarrow 3k^2-6k-9=0$

Portanto, $k=3$ ou $k=-1$.

Substituindo os valores de k no sistema, encontramos:

(1° caso): $k=3$

$\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 18\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2021\\ 2022\end{array}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2x+6y=2021\\ 6x+18y=2022\end{array}\right.$

Dividindo a segunda equação por 3, e depois, subtraindo as duas equações, encontramos:

$\left\{\begin{array}{l}2x+6y=2021\\ 2x+6y=674\end{array}\right.~ \left\{\begin{array}{l}2x+6y=2021\\ 0=1347\end{array}\right.$

Desse modo, o sistema é impossível, isto é, não possui solução, o que torna a alternativa d incorreta.

(2° caso):  $k=-1$

$\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2021\\ 2022\end{array}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2x+2y=2021\\ 2x+2y=2022\end{array}\right.$

Subtraindo as duas equações, encontramos:

$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=2021\\ 2x+2y=2022\end{array}\right.~ \left\{\begin{array}{l}2x+2y=2021\\ 0=1\end{array}\right.$

Desse modo, o sistema é impossível, isto é, não possui solução, o que torna a alternativa b incorreta e a alternativa c correta.

Note também que, se k = 0, temos $detB\ne 0$, tornando o sistema possível e determinado, ou seja, neste caso o sistema tem solução, o que torna a alternativa a incorreta.

Portanto, a alternativa correta é a alternativa c.