Questão 20 Unicamp 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 20

Discussão de um Sistema Linear

Considere a matriz

$A = (\begin{matrix} 1 & k \\ 3 & k^{2} \end{matrix})$

e seja $B = A + A^{T}$ , onde $A^{T}$ é a transposta da matriz 𝐴.

Sobre o sistema

$B (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2021 \\ 2022 \end{matrix})$

é correto afirmar que:

a)	se 𝑘 = 0, o sistema não tem solução.
b)	se 𝑘 = −1, o sistema tem infinitas soluções.
c)	se 𝑘 = −1, o sistema não tem solução.
d)	se 𝑘 = 3, o sistema tem infinitas soluções.

Resolução

Para determinar a matriz B, precisamos encontrar a transposta de A:

$A^{T} = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ k & k^{2} \end{matrix})$

Assim, segue que:

$B = A + A^{T} = (\begin{matrix} 1 & k \\ 3 & k^{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 3 \\ k & k^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 3 + k \\ 3 + k & 2 k^{2} \end{matrix})$

Agora, para encontrarmos a alternativa correta, perceba que precisamos discutir o sistema linear, sendo B a matriz dos coeficientes deste sistema. Para que um sistema linear seja ou impossível (SI) ou sistema possível e indeterminado (SPI), precisamos determinar os valores de k para que $\det B = 0$ .

Desse modo, temos:

$d e t B = 0 \Leftrightarrow |\begin{matrix} 2 & 3 + k \\ 3 + k & 2 k^{2} \end{matrix}| = 0 \Rightarrow 3 k^{2} - 6 k - 9 = 0$

Portanto, $k = 3$ ou $k = - 1$ .

Substituindo os valores de k no sistema, encontramos:

(1° caso): $k = 3$

$(\begin{matrix} 2 & 6 \\ 6 & 18 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2021 \\ 2022 \end{matrix}) \Rightarrow \{\begin{cases} 2 x + 6 y = 2021 \\ 6 x + 18 y = 2022 \end{cases}$

Dividindo a segunda equação por 3, e depois, subtraindo as duas equações, encontramos:

$\{\begin{cases} 2 x + 6 y = 2021 \\ 2 x + 6 y = 674 \end{cases} ~ \{\begin{cases} 2 x + 6 y = 2021 \\ 0 = 1347 \end{cases}$

Desse modo, o sistema é impossível, isto é, não possui solução, o que torna a alternativa d incorreta.

(2° caso): $k = - 1$

$(\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2021 \\ 2022 \end{matrix}) \Rightarrow \{\begin{cases} 2 x + 2 y = 2021 \\ 2 x + 2 y = 2022 \end{cases}$

Subtraindo as duas equações, encontramos:

$\{\begin{cases} 2 x + 2 y = 2021 \\ 2 x + 2 y = 2022 \end{cases} ~ \{\begin{cases} 2 x + 2 y = 2021 \\ 0 = 1 \end{cases}$

Desse modo, o sistema é impossível, isto é, não possui solução, o que torna a alternativa b incorreta e a alternativa c correta.

Note também que, se k = 0, temos $d e t B \neq 0$ , tornando o sistema possível e determinado, ou seja, neste caso o sistema tem solução, o que torna a alternativa a incorreta.

Portanto, a alternativa correta é a alternativa c.