Questão 13 Unicamp 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 13

Sistemas Lineares

Certo país adquiriu 5.000.000 de doses das vacinas Alfa, Beta e Gama, pagando um preço de $40.000.000,00 pelo total. Cada dose das vacinas Alfa, Beta e Gama custou $5,00, $10,00 e $20,00, respectivamente. Sabendo que o número de doses adquiridas da vacina Beta é o triplo do número de doses adquiridas da vacina Gama, o número de doses adquiridas da vacina Alfa foi de:

a)	a) 1.500.000.
b)	b) 2.000.000.
c)	c) 2.500.000
d)	d) 3.000.000

Resolução

Sejam $α$ , $β$ e $γ$ os números de doses adquiridas das vacinas Alfa,
Beta e Gama, respectivamente. De acordo com o enunciado, temos que:

$\{\begin{cases} α + β + γ = 5.000.000 \\ 5 α + 10 β + 20 γ = 40.000.000 \\ β = 3 γ \end{cases} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}$

Substituindo (III) em (I) e (II), vem que:

$\{\begin{cases} α + 3 γ + γ = 5.000.000 \\ 5 α + 10 \cdot 3 γ + 20 γ = 40.000.000 \\ β = 3 γ \end{cases} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix} \Leftrightarrow$ $\{\begin{cases} α + 4 γ = 5.000.000 \\ 5 α + 50 γ = 40.000.000 \\ β = 3 γ \end{cases} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}$

Multiplicando a equação (I) por $\frac{5}{2}$ e dividindo a equação (II) por 5, vem que:

$\{\begin{cases} \frac{5}{2} α + 10 γ = 12.500.000 \\ α + 10 γ = 8.000.000 \\ β = 3 γ \end{cases} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}$

Fazendo agora (I) – (II):

$\frac{5}{2} α - α = 12.500.000 - 8.000.000 \Leftrightarrow \frac{3}{2} α = 4.500.00 \Leftrightarrow α = 3.000.000$