Questão 17 Unicamp 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 17

Conceitos iniciais de funções

Para conter uma certa epidemia viral, uma vacina será aplicada a uma população. Sabe-se que:

• a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivíduos vacinados que estarão imunes à doença; e

• para controlar a epidemia, a porcentagem mínima de uma dada população a ser imunizada é dada pela fórmula $I (R_{0}) = 100 (R_{0} - 1) / R_{0}, e m R_{0} > 1$ é um valor associado às características da epidemia.

Assume-se, ainda, que uma eventual imunização somente é adquirida por meio da vacina.

Em relação à epidemia e à vacinação, é correto afirmar que

a)	a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia é sempre maior que 50%.
b)	para uma vacina, quanto maior $R_{0}$ , menor a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.
c)	para uma vacina, quanto maior $R_{0}$ , maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.
d)	para um dado $R_{0}$ , quanto maior a efetividade da vacina, maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.

Resolução

Julgamos cada afirmação.

a) Falsa. Se tivermos $R_{0} = 1, 5$ , por exemplo, que respeita a condição $R_{0} > 1$ , temos:

$I (1, 5) = 100 \cdot (\frac{1, 5 - 1}{1, 5}) = 100 \cdot \frac{1}{3} \approx 33, 3$ ,

ou seja a porcentagem mínima da população a ser imunizada é de aproximadamente 33,3%, menor que 50%.

b) Falsa. Fazendo $R_{0} = 2$ , por exemplo, que respeita a condição $R_{0} > 1$ , temos:

$I (2) = 100 \cdot (\frac{2 - 1}{2}) = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50$ .

Comparando com os cálculos realizados na justificativa da alternativa (a), observamos que ao aumentarmos $R_{0}$ de 1,5 para 2, não houve redução da porcentagem mínima da população a ser imunizada.

c) Verdadeira. A função $I (R_{0})$ pode ser reescrita como:

$I (R_{0}) = 100 \cdot (\frac{R_{0}}{R_{0}} - \frac{1}{R_{0}}) = 100 \cdot (1 - \frac{1}{R_{0}}) = 100 - \frac{100}{R_{0}}$

A partir disso, temos que:

$R_{02} > R_{01} > 1 \Leftrightarrow \frac{1}{R_{02}} < \frac{1}{R_{01}} < 1 \Leftrightarrow - \frac{100}{R_{02}} > - \frac{100}{R_{01}} > - 100 \Rightarrow$

$100 - \frac{100}{R_{02}} > 100 - \frac{100}{R_{01}} \Leftrightarrow I (R_{02}) > I (R_{01})$ ,

ou seja, para $R_{0} > 1$ , a função $I (R_{0})$ é estritamente crescente.

Podemos confirmar esse fato graficamente. O gráfico de $I (R_{0})$ pode ser construído da seguinte maneira:

partimos do gráfico da função $f : ℝ^{*} \to ℝ$ dada por $f (R_{0}) = \frac{1}{R_{0}}$ , que vem a ser uma hipérbole;
em seguida, passamos para o gráfico da função $g : ℝ^{*} \to ℝ$ dada por $g (R_{0}) = - 100 \cdot f (R_{0}) = - \frac{100}{R_{0}}$ , gráfico esse que corresponde a dilatar 100 vezes o gráfico de $f$ na direção do eixo das ordenadas (efeito do fator 100), e também promover uma reflexão em torno do eixo das abscissas (efeito do fator $- 1$ ).
por fim, chegamos ao gráfico da função $I :] 1, + \infty [\to ℝ$ do exercício, que corresponderá a fazer $I (R_{0}) = 100 - \frac{100}{R_{0}} = f (R_{0}) + 100$ , o que graficamente se traduz numa translação do gráfico da função $g$ de 100 unidades no sentido positivo do eixo das ordenadas. Tal translação fica particularmente nítida na posição da assíntota horizontal desse gráfico, que se desloca de $I = 0$ para $I = 100$ . A limitação do domínio ao intervalo $] 1, + \infty [$ restringe o gráfico à linha contínua no desenho a seguir.

Com essa sequência de passos, temos o gráfico:

d) Falsa. Para um dado $R_{0}$ , teremos um valor único (portanto fixo) para $I (R_{0})$ , que é a porcentagem mínima da população a ser imunizada.