Questão 19 Unicamp 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 19

Quadriláteros Circunscritíveis

Um círculo está inscrito em um quadrilátero $A B C D$ . Seja $T$ o ponto de tangência do lado $D A$ com o círculo. Sabe-se que as medidas dos lados $A B$ , $B C$ e $C D$ formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros e que a medida do lado $D A$ é $3$ . Considerando que a medida do segmento $T A$ é um número inteiro, as medidas dos lados $A B$ , $B C$ e $C D$ são, respectivamente:

a)	1, 3, 5.
b)	2, 3, 4.
c)	2, 4, 6.
d)	3, 4, 5.

Resolução

Considere o quadrilátero:

Sendo $P$ , $Q$ , R e T os pontos de tangência, então encontramos quatro pares de segmentos congruentes. Isto é, os pares de segmentos são tangentes a circunferência e, portanto, congruentes. Assim:

(1) $A T = A P = x$

(2) $B P = B Q = y$

(3) $C Q = C R = z$

(4) $D R = D T = w$

Pelo enunciado, temos que:

$D A = 3 = A T + D T \Rightarrow x + w = 3$

E, ainda, temos que o segmento $T A = x$ é um número inteiro e que $D T = w \neq 0$ , Desse modo, temos duas possíveis soluções para a equação acima: $x = 1 e w = 2$ ou $x = 2 e w = 1$ .

Mas, ainda pelo enunciado, sabemos que $A B$ , $B C$ e $C D$ se encontram, nessa ordem, em PA crescente. Assim, concluímos que $A B$ é o menor segmento entre os três e que $x = T A$ assume o menor valor. Portanto:

Usando, novamente, a informação sobre os segmentos em PA, temos:

$P A (A B, B C, C D) = (1 + y, y + z, z + 2)$

E, aplicando a propriedade da PA:

$y + z = \frac{1 + y + z + 2}{2} \Rightarrow y + z = 3$

Com o argumento análogo sobre o valor de $x = T A$ e $w = T D$ , temos que $y < z$ . E, daí: $y = 1 e z = 2$ .

Portanto, as medidas dos lados são:

(1) $A B = 1 + y = 1 + 1 = 2$

(2) $B C = y + z = 3$

(3) $C D = z + 2 = 2 + 2 = 4$