Questão 16 Unicamp 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 16

Média Geométrica Soma dos Termos P.A.

Dados os números reais positivos $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n},$ a média geométrica $M$ destes termos é calculada por:

$M = \sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} .$

A média geométrica de $1, 10, 100, . . ., 10^{22}$ é:

Resolução

Temos:

Observe que são 23 (e não 22) termos nessa sequência.

Em relação à média geométrica $M$ desses 23 termos, temos que:

$M = \sqrt[23]{10^{0} \cdot 10^{1} \cdot 10^{2} \cdot \dots \cdot 10^{22}} = \sqrt[23]{10^{0 + 1 + 2 + \dots + 22}}$

Sendo $S = 0 + 1 + 2 + \dots + 22$ a soma de 23 termos em progressão aritmética, tal soma será dada por:

$S = \frac{(0 + 22) \cdot 23}{2} = 11 \cdot 23$

Assim, a média geométrica $M$ pedida será dada por:

$M = \sqrt[23]{10^{11 \cdot 23}} = 10^{\frac{11 \cdot 23}{23}} = 10^{11}$