Unicamp 2021 - 1ª fase - 1º dia

Questão 21 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Permutação Simples e com Reptição

O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com a sequência FLORES é:

a)	$9! .$
b)	$\frac{9!}{2!} .$
c)	$\frac{9!}{(2! \cdot 2!)} .$
d)	$\frac{9!}{(2! \cdot 2! \cdot 2!)} .$

Resolução

Veja que a palavra REFLORESTAMENTO possui 15 letras das quais 6 (FLORES) já estão fixadas para começar a palavra:

$F L O R E S \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

Desse modo, precisamos trocar de lugar as 9 letras restantes, isto é, permutar as 9 letras. Mas, não podemos esquecer que, dentre essas 9 letras, existem repetições: 2 letras E e 2 letras T.

Portanto, o total de anagramas é dado por:

$t = {P_{9}}^{2, 2} = \frac{9!}{2! \cdot 2!}$

Questão 22 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equações e Inequações (Função Quadrática)

A soma dos valores de $x$ que resolvem a equação

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}$

é igual a

a)	$\frac{14}{3} .$
b)	$\frac{16}{3} .$
c)	$\frac{18}{3} .$
d)	$\frac{20}{3} .$

Resolução

Segue que:

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\frac{5}{6}}{\frac{x^{2} + 4}{4 x}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{5}{3} = \frac{x^{2} + 4}{4 x} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 12 = 20 x \Leftrightarrow 3 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Como desejamos a soma dos valores que satisfazem a equação acima e sabemos que a única restrição existente é que $x \neq 0$ , então, utilizando a relação de soma de raízes de uma equação quadrática, temos:

$S = - \frac{b}{a} = - \frac{(- 20)}{3} = \frac{20}{3}$

Questão 23 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Função Quadrática Polinômio

Sejam $p (x)$ e $q (x)$ polinômios de grau 2 tais que $p (0) < q (0)$ . Sabendo que $p (1) = q (1)$ e $p (- 1) = q (- 1)$ , o gráfico de $f (x) = p (x) - q (x)$ pode ser representado por:

a)
b)
c)
d)

Resolução

(1° modo de resolução):

Consideremos a função $f (x) = p (x) - q (x)$ , temos:

(1) para $x = 1$ : $f (1) = p (1) - q (1)$

Veja que, pelo enunciado, encontramos que $p (1) = q (1)$ . Assim, concluímos:

$f (1) = p (1) - q (1) = 0 \Rightarrow 1 é raiz de f$

(2) para $x = - 1$ : $f (- 1) = p (- 1) - q (- 1)$

Veja que, pelo enunciado, encontramos que $p (- 1) = q (- 1)$ . Assim, concluímos:

$f (- 1) = p (- 1) - q (- 1) = 0 \Rightarrow - 1 é raiz de f$

Logo, $1$ e $- 1$ são raízes de $f$ . Em outras palavras, são os valores das abscissas onde o gráfico corta o eixo Ox.

(3) para $x = 0$ : $f (0) = p (0) - q (0)$

Veja que, pelo enunciado, encontramos que $p (0) < q (0)$ . Assim, concluímos:

$f (0) = p (0) - q (0) \Rightarrow f (0) < 0$

Lembre-se que $f (0)$ é o valor da ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo Oy. Desse modo, essa ordenada é negativa.

Reunindo essas informações, temos apenas as alternativas A e C que podem ser verdadeiras.

Mas, precisamos analisar mais um detalhe: quando subtraímos dois polinômios de grau 2, obtemos um polinômio cujo grau pode ser menor ou igual a 2. Vejam os casos:

(1° caso) grau 2: parábola

(2° caso) grau 1: reta oblíqua

(3° caso) grau 0: reta paralela ao eixo Ox

Porém, como conhecemos duas raízes da função e sabemos que o grau do polinômio é menor ou igual a 2, então a quantidade de raízes econtradas corresponde ao grau do polinômio, então temos que a alternativa que pode ser o gráfico é alternativa A.

Observação: veja que o gráfico da alternatica C é um gráfico não suave, que lembra uma função modular (função definida por partes) o que contraria a ideia do gráfico de um polinômio que é contínuo e suave.

(2° modo de resolução):

Tomemos:

$p (x) = a x^{2} + b x + c$ e $q (x) = a' x^{2} + b' x + c'$ as funções polinomiais descritas no enunciado, tais que

$a \neq 0 a' \neq 0$ .

Deste modo, pelos dados do enunciado, temos:

$\{\begin{cases} p (1) = q (1) \\ \begin{matrix} p (- 1) = q (- 1) \\ p (0) < q (0) \end{matrix} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + b + c = a' + b' + c' \\ \begin{matrix} a - b + c = a' - b' + c' \\ c < c' \end{matrix} \end{cases}$

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

$(a + b + c) - (a - b + c) = (a' + b' + c') - (a' - b' + c') \Leftrightarrow 2 b = 2 b' \Leftrightarrow b = b'$

Assim, tomemos as seguintes relações obtidas das três equações acima:

$\{\begin{cases} b = b' \\ c < c' \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = b' \\ c - c' < 0 \end{cases}$

Logo, analisando o que é pedido no enunciado, temos:

$p (x) - q (x) = a x^{2} + b x + c - (a' x^{2} + b' x + c') \Leftrightarrow$

$p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (b - b') \cdot x + (c - c')$

Como $b = b'$ , então

$p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (c - c')$

Assim sendo, temos três opções para a função acima:

Opção 1: $a = a'$

Neste caso,

$p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (c - c') \Leftrightarrow p (x) - q (x) = (c - c')$

Porém, note que este caso contraria o enunciado, pois:

$p (1) = q (1) \Leftrightarrow p (1) - q (1) = 0$

Logo, teríamos

$p (x) - q (x) = (c - c') \Leftrightarrow p (1) - q (1) = (c - c') \Leftrightarrow (c - c') = 0$ (absurdo)

Como visto anteriormente, $c - c' < 0$ .

Opção 2: $a < a' \Rightarrow a - a' < 0$ .

Neste caso, $p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (c - c')$ é uma função quadrática com o coeficiente de $x^{2}$ sendo negativo. Ou seja, teríamos uma parábola com concavidade para baixo, indicando que poderíamos ter a alternativa b como resposta.

Porém, como $c - c' < 0$ , então a intersecção do gráfico desta parábola com o eixo y deve estar abaixo do eixo x, o que invalida a alternativa B.

Opção 3: $a > a' \Rightarrow a - a' > 0$

Neste caso, $p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (c - c')$ é uma função quadrática com o coeficiente de $x^{2}$ sendo positivo. Ou seja, teríamos uma parábola com concavidade para cima, indicando a alternativa A como resposta.

Note mais uma vez que $c - c' < 0$ , então a intersecção do gráfico desta parábola com o eixo y deve estar abaixo do eixo x, validando a alternativa A como resposta.

Como esses três casos acima são os únicos possíveis, descartamos as alternativas C e D que não trazem o gráfico de um polinômio de grau 2 como resposta.

Questão 24 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem

O projeto PRODES – Monitoramento do desmatamento das formações florestais na Amazônia Legal -, do INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais), monitora as áreas desmatadas da Amazônia legal e mantém um registro da área desmatada por ano. Um levantamento sobre esses dados a partir de 2016 mostrou que em 2019 houve um acréscimo de 35% da área desmatada em relação a 2018, de 45% em relação a 2017 e de 28% em relação a 2016.

(Fonte: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br. Acessado em 12/12/2020.)

Sabendo que a soma das áreas desmatadas nos anos de 2017, 2018 e 2019 foi de $24600 {km}^{2}$ , a área desmatada no ano de 2019 está entre

a)	$8601 {km}^{2}$ e $9200 {km}^{2}$
b)	$9201 {km}^{2}$ e $9800 {km}^{2}$
c)	$9801 {km}^{2}$ e $10400 {km}^{2}$
d)	$10401 {km}^{2}$ e $11200 {km}^{2}$

Resolução

Sejam $x$ , $y$ , $z$ e $w$ as áreas desmatadas, respectivamente, nos anos de 2016, 2017, 2018 e 2019. De acordo com o texto, podemos relacionar a área desmatada em 2019 com as áreas desmatadas nos demais anos pelas seguintes igualdades:

$w = 1, 35 z \Leftrightarrow z = \frac{w}{1, 35}$

$w = 1, 45 y \Leftrightarrow y = \frac{w}{1, 45}$

$w = 1, 28 x \Leftrightarrow x = \frac{w}{1, 28}$

Como a soma das áreas desmatadas nos anos de 2017, 2018 e 2019 foi de $24.600 {km}^{2}$ , temos que

$\frac{w}{1, 45} + \frac{w}{1, 35} + w = 24.600 \Leftrightarrow w \cdot (\frac{1}{1, 45} + \frac{1}{1, 35} + 1) = 24.600$

Sendo

$\frac{1}{1, 45} + \frac{1}{1, 35} + 1 = \frac{20}{29} + \frac{20}{27} + 1 = \frac{1.903}{783}$

Concluímos que

$w = \frac{24.600}{\frac{1.903}{783}} = \frac{19.261.800}{1.903} \approx 10.121, 8 {km}^{2}$

Portanto, alternativa C, $9801 {km}^{2} < w < 10400 {km}^{2}$ .

Questão 25 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem

(Fonte: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br. Acessado em 12/12/2020.)

Considerando os dados apresentados, relativos ao período analisado, é correto afirmar:

a)	O ano que teve a menor área desmatada foi 2016.
b)	A área desmatada em 2019 corresponde a 80% da área total desmatada no período de 2017 a 2018.
c)	A área desmatada em 2018 foi 35% menor do que em 2019.
d)	A área desmatada em 2018 foi menor que a área desmatada em 2016.

Resolução

$w = 1, 35 z \Leftrightarrow z = \frac{w}{1, 35}$

$w = 1, 45 y \Leftrightarrow y = \frac{w}{1, 45}$

$w = 1, 28 x \Leftrightarrow x = \frac{w}{1, 28}$

Das relações obtidas é imediato que

$y < z < x < w$

Portanto, a área desmatada em 2018 foi menor que a área desmatada em 2016, como afirma a alternativa (D).

Observe que a soma das áreas desmatadas em 2017 e 2018 pode ser expressa por:

$\frac{w}{1, 35} + \frac{w}{1, 45} = w (\frac{20}{27} + \frac{20}{29}) = \frac{1.120 w}{783}$

Assim, a área desmatada em 2019 corresponde a seguinte porcentagem da soma das áreas desmatadas em 2017 e 2018:

$\frac{w}{z + y} = \frac{w}{\frac{1.120 w}{783}} = \frac{783}{1.120} = \approx 0, 699 = 69, 9 %$

Por fim, comparando a área desmatada em 2018 em relação à área desmatada em 2019, temos:

$\frac{\frac{w}{1, 35}}{w} = \frac{1}{1, 35} \approx 0, 74 = 74 %$

Isso significa que, em relação à área desmatada em 2019, a área desmatada em 2018 é $26 %$ menor.

Questão 26 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Função Logarítmica

Se $f (x) = \log_{10} (x)$ e $x > 0$ , então $f (\frac{1}{x}) + f (100 x)$ é igual a

a)	1.
b)	2.
c)	3.
d)	4.

Resolução

Note que, através das propriedades de logaritmos, temos:

$f (\frac{1}{x}) + f (100 x) = \log_{10} (\frac{1}{x}) + \log_{10} (100 x) \Leftrightarrow$

$f (\frac{1}{x}) + f (100 x) = \log_{10} (1) - \log_{10} (x) + \log_{10} (100) + \log_{10} (x) =$

$= 0 + 2 = 2$

Questão 27 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Progressão Aritmética Teorema dos Cossenos

Considere que os ângulos internos de um triângulo formam uma progressão aritmética. Dado que $a, b, c$ são as medidas dos lados do triângulo, sendo $a < b < c$ , é correto afirmar que

a)	$b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ .
b)	$a^{2} + b c = b^{2} + c^{2}$ .
c)	$a^{2} - b c = b^{2} + c^{2}$ .
d)	$b^{2} - a c = a^{2} + c^{2}$ .

Resolução

Tomemos o desenho abaixo que ilustra a situação descrita no enunciado.

Como $a < b < c$ , então $α < θ < γ$ , pois o maior lado do triângulo é oposto ao maior ângulo interno deste triângulo. Como os ângulos estão em progressão aritmética, então, tomemos r a razão desta progressão:

$(α, θ, γ)$ é P.A., então $α = θ - r γ = θ + r$

Assim, temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é:

$α + θ + γ = 180 ° \Leftrightarrow θ - r + θ + θ + r = 180 ° \Leftrightarrow 3 θ = 180 ° \Leftrightarrow θ = 60 °$

Logo, o ângulo oposto ao lado de medida b é igual a 60°. Pelo teorema dos cossenos, temos:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos (60 °) \Leftrightarrow b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - a \cdot c \Leftrightarrow b^{2} + a \cdot c = a^{2} + c^{2}$

Questão 28 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Tangente no Triângulo Retângulo Tangente da Soma e da Subtração

A figura abaixo exibe um quadrado ABCD em que M é o ponto médio do lado CD.

Com base na figura, $tg (θ) + tg (α)$ é igual a

a)	7.
b)	6.
c)	5.
d)	4.

Resolução

Seja $L$ a medida dos lados do quadrado $A B C D$ .

Sendo $M$ o ponto médio do lado $C D$ , temos que

$C M = \frac{L}{2}$

Assim, como o triângulo $B C M$ é retângulo no vértice $C$ e o ângulo $α$ é um de seus ângulos agudos, segue que

$tg (α) = \frac{C B}{C M} = \frac{L}{(\frac{L}{2})} = 2$

Por outro lado, como $A C$ é diagonal do quadrado, temos que o ângulo $M \hat{C} A$ mede $45 °$ .

Assim, fazendo a soma dos ângulos internos do triângulo:

$α + θ + 45 ° = 180 ° \Leftrightarrow θ = 135 ° - α$

Logo,

$tg (θ) = tg (135 ° - α) = \frac{tg (135 °) - tg (α)}{1 + tg (135 °) \cdot tg (α)} = \frac{- 1 - 2}{1 + (- 1) \cdot 2} = \frac{- 3}{- 1} = 3$

Portanto,

$tg (α) + tg (θ) = 2 + 3 = 5$

Questão 29 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Determinante de Ordem 2 Progressão Aritmética

Considere $a, b, c, d$ termos consecutivos de uma progressão aritmética de números reais com razão $r \neq 0$ . Denote por $D$ o determinante da matriz

$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$

É correto afirmar que $\frac{D}{r^{2}}$ vale

a)	$- 1$
b)	$- 2$
c)	$- 3$
d)	$- 4$

Resolução

Como $(a, b, c, d)$ é uma progressão aritmética de razão $r \neq 0$ , podemos reescrevê-la como $(a, a + r, a + 2 r, a + 3 r)$ .

Assim, temos que o determinante $D$ é

$D = |\begin{matrix} a & a + r \\ a + 2 r & a + 3 r \end{matrix}| = a \cdot (a + 3 r) - (a + r) \cdot (a + 2 r) = a^{2} + 3 a r - a^{2} - 3 a r - 2 r^{2} = - 2 r^{2}$

Portanto,

$\frac{D}{r^{2}} = \frac{- 2 r^{2}}{r^{2}} = - 2$

Questão 30 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Progressão Geométrica

Seja $x$ um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são $1, 2 x, - 3 x + 1,$ , nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a

a)	$3 / 2$ .
b)	$2$ .
c)	$5 / 2$ .
d)	$3$ .

Resolução

A razão $q$ de uma progressão geométrica é igual ao quociente entre um termo qualquer da progressão e seu antecessor. Assim:

$q = \frac{2 x}{1} = \frac{- 3 x + 1}{2 x}$

Temos então a seguinte equação:

$2 x = \frac{- 3 x + 1}{2 x} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

As duas soluções dessa equação 2º grau são $x = - 1$ e $x = \frac{1}{4}$ .

Porém, como todos os termos da progressão geométrica são positivos, a solução $x = - 1$ não convém ao problema, pois resultaria no segundo termo igual a $- 2$ .

Concluímos assim que a razão $q$ é

$q = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Portanto, sendo $\lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ o limite da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica de razão $0 < q < 1$ , então, temos:

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$