Questão 23 Unicamp 2021 - 1ª fase - 1º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 23

Função Quadrática Polinômio

Sejam $p (x)$ e $q (x)$ polinômios de grau 2 tais que $p (0) < q (0)$ . Sabendo que $p (1) = q (1)$ e $p (- 1) = q (- 1)$ , o gráfico de $f (x) = p (x) - q (x)$ pode ser representado por:

a)
b)
c)
d)

Resolução

(1° modo de resolução):

Consideremos a função $f (x) = p (x) - q (x)$ , temos:

(1) para $x = 1$ : $f (1) = p (1) - q (1)$

Veja que, pelo enunciado, encontramos que $p (1) = q (1)$ . Assim, concluímos:

$f (1) = p (1) - q (1) = 0 \Rightarrow 1 é raiz de f$

(2) para $x = - 1$ : $f (- 1) = p (- 1) - q (- 1)$

Veja que, pelo enunciado, encontramos que $p (- 1) = q (- 1)$ . Assim, concluímos:

$f (- 1) = p (- 1) - q (- 1) = 0 \Rightarrow - 1 é raiz de f$

Logo, $1$ e $- 1$ são raízes de $f$ . Em outras palavras, são os valores das abscissas onde o gráfico corta o eixo Ox.

(3) para $x = 0$ : $f (0) = p (0) - q (0)$

Veja que, pelo enunciado, encontramos que $p (0) < q (0)$ . Assim, concluímos:

$f (0) = p (0) - q (0) \Rightarrow f (0) < 0$

Lembre-se que $f (0)$ é o valor da ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo Oy. Desse modo, essa ordenada é negativa.

Reunindo essas informações, temos apenas as alternativas A e C que podem ser verdadeiras.

Mas, precisamos analisar mais um detalhe: quando subtraímos dois polinômios de grau 2, obtemos um polinômio cujo grau pode ser menor ou igual a 2. Vejam os casos:

(1° caso) grau 2: parábola

(2° caso) grau 1: reta oblíqua

(3° caso) grau 0: reta paralela ao eixo Ox

Porém, como conhecemos duas raízes da função e sabemos que o grau do polinômio é menor ou igual a 2, então a quantidade de raízes econtradas corresponde ao grau do polinômio, então temos que a alternativa que pode ser o gráfico é alternativa A.

Observação: veja que o gráfico da alternatica C é um gráfico não suave, que lembra uma função modular (função definida por partes) o que contraria a ideia do gráfico de um polinômio que é contínuo e suave.

(2° modo de resolução):

Tomemos:

$p (x) = a x^{2} + b x + c$ e $q (x) = a' x^{2} + b' x + c'$ as funções polinomiais descritas no enunciado, tais que

$a \neq 0 a' \neq 0$ .

Deste modo, pelos dados do enunciado, temos:

$\{\begin{cases} p (1) = q (1) \\ \begin{matrix} p (- 1) = q (- 1) \\ p (0) < q (0) \end{matrix} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + b + c = a' + b' + c' \\ \begin{matrix} a - b + c = a' - b' + c' \\ c < c' \end{matrix} \end{cases}$

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

$(a + b + c) - (a - b + c) = (a' + b' + c') - (a' - b' + c') \Leftrightarrow 2 b = 2 b' \Leftrightarrow b = b'$

Assim, tomemos as seguintes relações obtidas das três equações acima:

$\{\begin{cases} b = b' \\ c < c' \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = b' \\ c - c' < 0 \end{cases}$

Logo, analisando o que é pedido no enunciado, temos:

$p (x) - q (x) = a x^{2} + b x + c - (a' x^{2} + b' x + c') \Leftrightarrow$

$p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (b - b') \cdot x + (c - c')$

Como $b = b'$ , então

$p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (c - c')$

Assim sendo, temos três opções para a função acima:

Opção 1: $a = a'$

Neste caso,

$p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (c - c') \Leftrightarrow p (x) - q (x) = (c - c')$

Porém, note que este caso contraria o enunciado, pois:

$p (1) = q (1) \Leftrightarrow p (1) - q (1) = 0$

Logo, teríamos

$p (x) - q (x) = (c - c') \Leftrightarrow p (1) - q (1) = (c - c') \Leftrightarrow (c - c') = 0$ (absurdo)

Como visto anteriormente, $c - c' < 0$ .

Opção 2: $a < a' \Rightarrow a - a' < 0$ .

Neste caso, $p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (c - c')$ é uma função quadrática com o coeficiente de $x^{2}$ sendo negativo. Ou seja, teríamos uma parábola com concavidade para baixo, indicando que poderíamos ter a alternativa b como resposta.

Porém, como $c - c' < 0$ , então a intersecção do gráfico desta parábola com o eixo y deve estar abaixo do eixo x, o que invalida a alternativa B.

Opção 3: $a > a' \Rightarrow a - a' > 0$

Neste caso, $p (x) - q (x) = (a - a') \cdot x^{2} + (c - c')$ é uma função quadrática com o coeficiente de $x^{2}$ sendo positivo. Ou seja, teríamos uma parábola com concavidade para cima, indicando a alternativa A como resposta.

Note mais uma vez que $c - c' < 0$ , então a intersecção do gráfico desta parábola com o eixo y deve estar abaixo do eixo x, validando a alternativa A como resposta.

Como esses três casos acima são os únicos possíveis, descartamos as alternativas C e D que não trazem o gráfico de um polinômio de grau 2 como resposta.