Questão 22 Unicamp 2021 - 1ª fase - 1º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 22

Equações e Inequações (Função Quadrática)

A soma dos valores de $x$ que resolvem a equação

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}$

é igual a

a)	$\frac{14}{3} .$
b)	$\frac{16}{3} .$
c)	$\frac{18}{3} .$
d)	$\frac{20}{3} .$

Resolução

Segue que:

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\frac{5}{6}}{\frac{x^{2} + 4}{4 x}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{5}{3} = \frac{x^{2} + 4}{4 x} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 12 = 20 x \Leftrightarrow 3 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Como desejamos a soma dos valores que satisfazem a equação acima e sabemos que a única restrição existente é que $x \neq 0$ , então, utilizando a relação de soma de raízes de uma equação quadrática, temos:

$S = - \frac{b}{a} = - \frac{(- 20)}{3} = \frac{20}{3}$