Questão 30 Unicamp 2021 - 1ª fase - 1º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 30

Progressão Geométrica

Seja $x$ um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são $1, 2 x, - 3 x + 1,$ , nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a

a)	$3 / 2$ .
b)	$2$ .
c)	$5 / 2$ .
d)	$3$ .

Resolução

A razão $q$ de uma progressão geométrica é igual ao quociente entre um termo qualquer da progressão e seu antecessor. Assim:

$q = \frac{2 x}{1} = \frac{- 3 x + 1}{2 x}$

Temos então a seguinte equação:

$2 x = \frac{- 3 x + 1}{2 x} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

As duas soluções dessa equação 2º grau são $x = - 1$ e $x = \frac{1}{4}$ .

Porém, como todos os termos da progressão geométrica são positivos, a solução $x = - 1$ não convém ao problema, pois resultaria no segundo termo igual a $- 2$ .

Concluímos assim que a razão $q$ é

$q = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Portanto, sendo $\lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ o limite da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica de razão $0 < q < 1$ , então, temos:

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$