Unicamp 2021 - 1ª fase - 1º dia

Questão 31 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Estudo Analítico da Reta

No plano cartesiano, considere a reta de equação $x + 2 y = 4$ , sendo A, B os pontos de intersecção dessa reta com os eixos coordenados. A equação da reta mediatriz do segmento de reta $A B$ é dado por

a)	$2 x - y = 3$
b)	$2 x - y = 5$
c)	$2 x + y = 3$
d)	$2 x + y = 5$

Resolução

Para determinar as coordenadas dos pontos A e B, precisamos fazer as interseções com os eixos coordenados:

(1) interseção com o eixo Ox: $y = 0$ .

Desse modo, temos:

$x + 2 \cdot 0 = 4 \Rightarrow x = 4$

Logo, encontramos o ponto $A = (4, 0)$ .

(2) interseção com o eixo Oy: $x = 0$

Desse modo, temos:

$0 + 2 \cdot y = 4 \Rightarrow y = 2$

Logo, encontramos o ponto $B = (0, 2)$ .

Agora, precisamos recordar sobre duas características principais para a criação da reta mediatriz $r$ : essa reta é perpendicular ao segmento (no nosso caso, $r ⊥ A B$ ) e passa pelo ponto médio desse mesmo segmento.

Tendo em vista essas duas características, podemos calcular:

(1) ponto médio de $\bar{A B}$ :

Temos:

$M = (\frac{4 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2}) \Rightarrow M = (2, 1)$

(2) coeficiente angular de $r$ :

Como as retas são perpendiculares (a reta suporte de $\bar{A B}$ e a reta $r$ ), temos:

- coeficiente angular de $\bar{A B}$ :

$x + 2 y = 4 \Rightarrow y = - \frac{x}{2} + 2 ∴ m_{A B} = - \frac{1}{2}$

- coeficiente angular de $r$ :

$m_{r} \cdot m_{A B} = - 1 \Rightarrow m_{r} \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1 \Rightarrow m_{r} = 2$

(3) equação da reta $r$ :

Pela equação fundamental da reta, temos:

$y - y_{0} = m_{r} \cdot (x - x_{0}) \Rightarrow y - 1 = 2 \cdot (x - 2) \Rightarrow 2 x - y = 3$

Visualização:

Questão 32 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Cilindros

No início do expediente do dia 16 de março de 2020, uma farmácia colocou à disposição dos clientes um frasco cilíndrico de 500 ml $(500 c m^{2})$ de álcool em gel para higienização das mãos. No final do expediente, a coluna de álcool havia baixado 5 cm. Sabendo que a base do cilindro tem diâmetro de 6 cm e admitindo o mesmo consumo de álcool em gel nos dias seguintes, calcula-se que o frasco ficou vazio no dia

a)	17 de março.
b)	18 de março.
c)	19 de março.
d)	20 de março.

Resolução

Sabendo que o diâmetro da base do cilindro é de $6 c m$ , temos que o raio vale $3 c m$ . Desse modo, podemos calcular o volume de álcool em gel utilizado em um dia:

$V = {πr}^{2} \cdot h = π \cdot 3^{2} \cdot 5 \Rightarrow V = 45 π {cm}^{3}$

Como o volume total é de $500 c m^{3}$ , então o número de dias é dado por:

$n = \frac{V_{t o t a l}}{V_{d i á r i o}} = \frac{500}{45 π} ≅ 3, 5 d i a s$

Então, concluímos que serão necessários 3 dias completos e 1 dia incompleto. Assim, o frasco ficou vazio no dia 19 de março.

Questão 33 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Movimento Uniforme Movimento Circular

Ao passar pelo sensor magnético, a velocidade linear de um ponto de uma fita cassete é $v = 0, 045 m / s$ . Depois de passar pelo sensor, a fita é enrolada em uma bobina circular de diâmetro $d = 6, 0 cm$ . Em quanto tempo a bobina completa uma volta?

a)	0,65 s.
b)	1,3 s.
c)	4,0 s.
d)	0,27 s.

Resolução

A fita magnética se move com velocidade constante de 0,045 m/s e então é enrolada numa bobina circular de diâmetro 6 cm (0,06 m). Como o raio corresponde a metade do diâmetro, o raio da bobina é de 3 cm (0,03 m). A imagem abaixo ilustra esta situação:

Para completar uma volta, a fita precisa se deslocar a distância corresponde ao perímetro do círculo definido pela bobina circular, ou seja:

$\begin{array}{rcl} ∆ S & = & 2 \cdot π \cdot R \Rightarrow \end{array}$

$∆ s = 2 \cdot 3 \cdot 0, 03 \Rightarrow$

$∆ s = 0, 18 m .$

Como a velocidade da fita magnética é constante, podemos usar a expressão para a velocidade média para calcular o tempo necessário para a fita dar uma volta completa na bobina:

$v = \frac{∆ S}{∆ t} \Rightarrow$

$∆ t = \frac{∆ S}{v} \Rightarrow$

$∆ t = \frac{0, 18}{0, 045} \Rightarrow$

$∆ t = 4 s .$

Questão 34 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equilíbrio de Corpos Extensos

A figura abaixo mostra o braço de um toca-discos de vinil. Nela são indicadas, nos seus respectivos pontos de atuação, as seguintes forças: peso do braço $({\vec{P}}_{B})$ , peso do contrapeso $({\vec{P}}_{C})$ e força normal aplicada pelo suporte do braço $(\vec{N})$ . Para que o braço fique em equilíbrio, é necessário que a soma dos torques seja igual a zero. No caso do braço da figura, o módulo do torque de cada força em relação ao ponto O (suporte do braço) é igual ao produto do módulo da força pela distância do ponto de aplicação da força até O. Adote torque positivo para forças que tendem a acelerar o braço no sentido horário e torque negativo para o sentido anti-horário. Sendo $|\vec{P_{C}}| = 1, 5 N$ , $|{\vec{P}}_{B}| = 0, 3 N$ e $|\vec{N}| = 1, 8 N$ , qual deve ser a distância $D$ do contrapeso ao ponto $O$ para que o braço fique em equilíbrio?

a)	2,0 cm.
b)	2,4 cm.
c)	3,6 cm.
d)	6,0 cm.

Resolução

Estando o sistema em equilbrio o momento resultante deve ser nulo, ou seja

$M_{P B} + M_{P C} + M_{N} = 0 \Rightarrow$

$- | P_{B} | \cdot b_{B} + | P_{C} | \cdot b_{C} + | N | \cdot b_{N} = 0 \Rightarrow$

$- 0, 3 \cdot 12 + 1, 5 \cdot D + N \cdot 0 = 0 \Rightarrow$

$1, 5 \cdot D = 0, 3 \cdot 12 \Rightarrow$

$D = \frac{0, 3 \cdot 12}{1, 5} \Rightarrow$

$D = 2, 4 cm .$

Questão 35 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Força Normal Definição de Pressão

A força normal aplicada pela agulha de um toca-discos sobre o disco tem módulo igual a $|\vec{N}| = 2, 0 \times 10^{- 2} N$ . A área de contato entre a agulha e o disco é igual a $1, 6 \times 10^{- 3} {mm}^{2}$ . Qual é a pressão exercida pela agulha sobre o disco?

Dado: $1, 0 atm = 1, 0 \times 10^{5} N / m^{2}$ .

a)	$1, 25 \times 10^{- 4} atm$ .
b)	$3, 20 \times 10^{- 3} atm$ .
c)	$3, 20 \times 10^{1} atm$ .
d)	$1, 25 \times 10^{2} atm$ .

Resolução

A pressão exercida pela agulha sobre o disco corresponde à razão entre a força aplicada (neste caso, a força normal N) e a área de contato entre a agulha e o disco. Deve-se prestar especial atenção à unidade da área de contato, convertendo de mm² para a unidade do sistema internacional, ou seja, m²:

$1 {mm}^{2} = 1 (mm)^{2} = 1 (10^{- 3} \cdot m)^{2} = 10^{- 6} m^{2} .$

A área de contato entre a agulha e o disco é, então, dada por:

$A = 1, 6 \cdot 10^{- 3} {mm}^{2} = 1, 6 \cdot 10^{- 9} m^{2} .$

Agora é possível calcular a pressão sobre o disco a partir da razão entre a força normal $N$ e a área $A$ de contato:

$\begin{array}{rcl} P & = & \frac{N}{A} \Rightarrow \end{array}$

$\begin{array}{rcl} P & = & \frac{2 \cdot 10^{- 2}}{1, 6 \cdot 10^{- 9}} \Rightarrow \end{array}$

$\begin{array}{rcl} P & = & 1, 25 \cdot 10^{7} N / m^{2} . \end{array}$

É necessário converter de N/m² para atmosferas e, conforme o enunciado, 1 atm corresponde a 10⁵ N/m². Assim:

$P = \frac{1, 25 \cdot 10^{7}}{1 \cdot 10^{5}} \Rightarrow$

$P = 1, 25 \cdot 10^{2} atm$ .

Questão 36 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Força de Atrito Dinâmico

A força de atrito cinético entre a agulha e um disco de vinil tem módulo $|{\vec{F}}_{a t}| = 8, 0 \times 10^{- 3} N$ . Sendo o módulo da força normal $|\vec{N}| = 2, 0 \times 10^{- 2} N$ , o coeficiente de atrito cinético, $μ_{C}$ , entre a agulha e o disco é igual a

a)	$1, 6 \times 10^{- 5}$ .
b)	$5, 0 \times 10^{- 2}$ .
c)	$4, 0 \times 10^{- 1}$ .
d)	$2, 5 \times 10^{0}$ .

Resolução

A força de atrito cinético é dada por

$F_{a t} = μ \cdot N \Rightarrow$

$8 \cdot 10^{- 3} = μ \cdot 2 \cdot 10^{- 2} \Rightarrow$

$μ = \frac{8 \cdot 10^{- 3}}{2 \cdot 10^{- 2}} \Rightarrow$

$μ = 4 \cdot 10^{- 2 - (- 2)} \Rightarrow$

$μ = 4 \cdot 10^{- 3 + 2} \Rightarrow$

$μ = 4 \cdot 10^{- 1} .$

Questão 37 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Energia Cinética na Dinâmica

Em fevereiro de 2020, a estação meteorológica de Key West, na Flórida (EUA), registrou uma revoada de pássaros migrantes que se assemelhava a uma grande tempestade. Considere uma nuvem de pássaros de forma cilíndrica, de raio $R_{0} = 145000 m$ e altura $h = 100 m$ , e densidade de pássaros $d_{p} = 6, 0 \times 10^{- 7} pássaros / m^{3}$ . Suponha ainda que cada pássaro tenha massa $m_{p} = 0, 5 kg$ e velocidade $V_{0} = 20 m / s$ , todos voando na mesma direção e sentido. Assim, a energia cinética da revoada de pássaros é igual a

a)	$3, 8 \cdot 10^{8} J .$
b)	$1, 9 \cdot 10^{7} J .$
c)	$5, 2 \cdot 10^{3} J .$
d)	$1, 3 \cdot 10^{1} J .$

Resolução

A energia cinética total da revoada de pássaros pode ser dada pela soma da energia cinética de cada pássaro. Como todos os pássaros possuem a mesma velocidade, podemos dizer que a energia cinética do conjunto é dada pela expressão

$E_{c} = n \cdot \frac{m \cdot v^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{c} = n \cdot \frac{0, 5 \cdot 20^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{c} = n \cdot 100 J$ (1)

sendo n o número de pássaros.

Dada a densidade de pássaros conhecidas podemos dizer que n é dado por

$n = d_{p} \cdot V$ .

Além disso o conjunto de pássaros forma um cilindro, conforme a figura abaixo, cujo volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

$n = 6 \cdot 10^{- 7} \cdot (A_{B} \cdot h) \Rightarrow$

$n = 6 \cdot 10^{- 7} \cdot (π \cdot R_{0}^{2} \cdot h) \Rightarrow$

$n = 6 \cdot 10^{- 7} \cdot (3 \cdot 145000^{2} \cdot 100) \Rightarrow$

$n = 3, 78 \cdot 10^{6} pássaros .$ (2)

Substituindo (2) em (1) obtemos

$E_{c} = 3, 78 \cdot 10^{6} \cdot 100 \Rightarrow$

$E_{c} = 3, 78 \cdot 10^{8} J \approx 3, 8 \cdot 10^{8} J .$

Questão 38 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equação do Calor Específico sem Mudança de Fase

Um microchip de massa $m = 2, 0 \times 10^{- 6} g$ é composto majoritariamente de silício. Durante um minuto de funcionamento, o circuito elétrico do dispositivo dissipa, na forma térmica, uma quantidade de energia $Q = 0, 96 mJ$ . Considere que o calor específico do silício é $C_{S i} = 800 J / kg º C$ . Caso não houvesse nenhum mecanismo de escoamento de calor para fora do dispositivo, em quanto sua temperatura aumentaria após esse tempo de funcionamento?

a)	$4, 8 \times 10^{1} º C$ .
b)	$1, 6 \times 10^{2} º C$ .
c)	$6, 0 \times 10^{2} º C$ .
d)	$1, 2 \times 10^{3} º C$ .

Resolução

Vamos usar a equação do calor específico para encontrar o resultado desta questão. Passando os dados para o mesmo sistema de unidades que se encontra o calor específico, temos:

$m = 2, 0 \times 10^{- 6} g = 2, 0 \times 10^{- 9} kg;$

$Q = 0, 96 mJ = 0, 96 \times 10^{- 3} J;$ e

$c = 800 \frac{J}{kg \cdot ° C} .$

Substiruindo os dados na equação, temos:

$Q = m \cdot c \cdot Δ θ \Rightarrow$

$0, 96 \times 10^{- 3} = 2, 0 \times 10^{- 9} \cdot 800 \cdot Δ θ \Rightarrow$

$Δ θ = \frac{0, 96}{1, 6 \cdot 10^{- 3}} \Rightarrow$

$Δθ = 600 ° C .$

Nota importante: como tanto a massa como o calor devem ser multiplicados por $10^{- 3}$ , o resultado final será o mesmo caso o aluno esqueça de fazer ambas as conversões. Entretanto, caso o aluno converta apenas uma das unidades, necessariamente, não chegaria a nenhuma alternativa.

Questão 39 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Associação de Resistores 1ª Lei de Ohm

A diferença de potencial elétrico, $U$ , é proporcional à corrente elétrica, $i$ , em um trecho de um circuito elétrico resistivo, com constante de proporcionalidade dada pela resistência equivalente, $R_{e q}$ ,no trecho do circuito. Além disso, no caso de resistores dispostos em série, a resistência equivalente é dada pela soma das resistências $(R_{e q} = R_{1} + R_{2} + . . .)$ . A corrente elétrica, $i_{B}$ , no trecho B do circuito abaixo é três vezes maior que a corrente elétrica no trecho A, ou seja, $i_{B} / i_{A} = 3$ . Quanto vale a resistência $R_{B 2}$ ?

a)	$2, 0 Ω .$
b)	$14 Ω .$
c)	$18 Ω .$
d)	$66 Ω .$

Resolução

Como o resistor $R_{A}$ está em paralelo com a associação em série ( $R_{B} = R_{B 1} + R_{B 2}$ ), então a d.d.p. (diferença de potencial) em ambos serão iguais (12 V). Com isso, podemos igualar matematicamente ambas as d.d.p. e aplicar a primeira lei de Ohm:

$U_{A} = U_{B} \Rightarrow$

$R_{A} \cdot i_{A} = R_{B} \cdot i_{B} \Rightarrow$

(substituindo $R_{B}$ e $i_{B} = 3 i_{A}$ )

$R_{A} \cdot i_{A} = (R_{B 1} + R_{B 2}) \cdot 3 i_{A} \Rightarrow$

$24 = (6 + R_{B 2}) \cdot 3 \Rightarrow$

$6 + R_{B 2} = 8 \Rightarrow$

$R_{B 2} = 2 Ω .$

Questão 40 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equação fundamental da ondulatória Ondas Eletromagnéticas

Um dos fatores que determinam a capacidade de armazenamento de dados nos discos laser é o comprimento de onda do laser usado para gravação e leitura (ver figura abaixo). Isto porque o diâmetro $d$ do feixe laser no ponto de leitura no disco é diretamente proporcional ao comprimento de onda, $λ$ . No caso do Blu-Ray, usa-se um comprimento de onda na faixa azul (daí o nome, em inglês), que é menor que o do CD e o do DVD. As lentes usadas no leitor de Blu-Ray são tais que vale a relação $d_{B R} \approx 1, 2 λ_{B R}$ .

A partir das informações da figura, conclui-se que a frequência do laser usado no leitor Blu-Ray é

a)	$3, 2 \times 10^{14} Hz .$
b)	$5, 2 \times 10^{14} Hz .$
c)	$6, 2 \times 10^{14} Hz .$
d)	$7, 5 \times 10^{14} Hz .$

Resolução

A partir da imagem fornecida pelo problema, podemos ver que o diâmetro do feixe laser do Blu-Ray é de 480 nm, conforme destacado abaixo:

É necessário lembrar que o laser corresponde a um feixe de ondas eletromagnéticas e, por isso, se propaga com velocidade igual à velocidade da luz, ou seja, $v = 3 \cdot 10^{8} m / s$ . Além disto, é necessário lembrar também que 1 nm corresponde a 10^-9 m.

Assim, sabendo o comprimento de onda ( $λ$ ) e a velocidade de propagação ( $v$ ), podemos determinar a frequência ( $f$ ) correspondente ao feixe laser do Blu-Ray a partir da equação fundamental da ondulatória, conforme abaixo:

$\begin{array}{rcl} v & = & λ \cdot f \Rightarrow \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 3 \cdot 10^{8} & = & 480 \cdot 10^{- 9} \cdot f \Rightarrow \end{array}$

$\begin{array}{rcl} f = 7, 5 \cdot 10^{14} Hz . \end{array}$

Nota: é interessante observar que o fato do diâmetro do feixe laser correspondente ao Blu-Ray ser menor do que o diâmetro dos feixes laser de DVD e CD significa que é possível armazenar mais informações em uma mídia Blu-Ray do que em uma mídia de DVD ou CD. Isto acontece pois quanto menor o diâmetro do feixe laser menor também será o "tamanho" da informação gravada na mídia e, por fim, quanto menor o tamanho de cada informação, mais informações podem ser armazenadas na mesma mídia.