Questão 31 Unicamp 2021 - 1ª fase - 1º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 31

Estudo Analítico da Reta

No plano cartesiano, considere a reta de equação $x + 2 y = 4$ , sendo A, B os pontos de intersecção dessa reta com os eixos coordenados. A equação da reta mediatriz do segmento de reta $A B$ é dado por

a)	$2 x - y = 3$
b)	$2 x - y = 5$
c)	$2 x + y = 3$
d)	$2 x + y = 5$

Resolução

Para determinar as coordenadas dos pontos A e B, precisamos fazer as interseções com os eixos coordenados:

(1) interseção com o eixo Ox: $y = 0$ .

Desse modo, temos:

$x + 2 \cdot 0 = 4 \Rightarrow x = 4$

Logo, encontramos o ponto $A = (4, 0)$ .

(2) interseção com o eixo Oy: $x = 0$

Desse modo, temos:

$0 + 2 \cdot y = 4 \Rightarrow y = 2$

Logo, encontramos o ponto $B = (0, 2)$ .

Agora, precisamos recordar sobre duas características principais para a criação da reta mediatriz $r$ : essa reta é perpendicular ao segmento (no nosso caso, $r ⊥ A B$ ) e passa pelo ponto médio desse mesmo segmento.

Tendo em vista essas duas características, podemos calcular:

(1) ponto médio de $\bar{A B}$ :

Temos:

$M = (\frac{4 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2}) \Rightarrow M = (2, 1)$

(2) coeficiente angular de $r$ :

Como as retas são perpendiculares (a reta suporte de $\bar{A B}$ e a reta $r$ ), temos:

- coeficiente angular de $\bar{A B}$ :

$x + 2 y = 4 \Rightarrow y = - \frac{x}{2} + 2 ∴ m_{A B} = - \frac{1}{2}$

- coeficiente angular de $r$ :

$m_{r} \cdot m_{A B} = - 1 \Rightarrow m_{r} \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1 \Rightarrow m_{r} = 2$

(3) equação da reta $r$ :

Pela equação fundamental da reta, temos:

$y - y_{0} = m_{r} \cdot (x - x_{0}) \Rightarrow y - 1 = 2 \cdot (x - 2) \Rightarrow 2 x - y = 3$

Visualização: