Questão 29 Unicamp 2021 - 1ª fase - 1º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 29

Determinante de Ordem 2 Progressão Aritmética

Considere $a, b, c, d$ termos consecutivos de uma progressão aritmética de números reais com razão $r \neq 0$ . Denote por $D$ o determinante da matriz

$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$

É correto afirmar que $\frac{D}{r^{2}}$ vale

a)	$- 1$
b)	$- 2$
c)	$- 3$
d)	$- 4$

Resolução

Como $(a, b, c, d)$ é uma progressão aritmética de razão $r \neq 0$ , podemos reescrevê-la como $(a, a + r, a + 2 r, a + 3 r)$ .

Assim, temos que o determinante $D$ é

$D = |\begin{matrix} a & a + r \\ a + 2 r & a + 3 r \end{matrix}| = a \cdot (a + 3 r) - (a + r) \cdot (a + 2 r) = a^{2} + 3 a r - a^{2} - 3 a r - 2 r^{2} = - 2 r^{2}$

Portanto,

$\frac{D}{r^{2}} = \frac{- 2 r^{2}}{r^{2}} = - 2$