Questão 28 Unicamp 2021 - 1ª fase - 1º dia

Seja $L$ a medida dos lados do quadrado $ABCD$.

Sendo $M$ o ponto médio do lado $\overline{CD}$, temos que

$\overline{CM}=\frac{L}{2}$

Assim, como o triângulo $BCM$ é retângulo no vértice $C$ e o ângulo $\alpha$ é um de seus ângulos agudos, segue que

$\mathrm{tg}\left(\alpha \right)=\frac{\overline{CB}}{\overline{CM}}=\frac{L}{\left({\displaystyle \raisebox{1ex}{$L$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right)}=2$

Por outro lado, como $\overline{AC}$ é diagonal do quadrado, temos que o ângulo $M\hat{C}A$ mede $45°$.

Assim, fazendo a soma dos ângulos internos do triângulo:

$\alpha +\theta +45°=180° \iff \theta =135°-\alpha$

Logo,

$\mathrm{tg}\left(\theta \right)=\mathrm{tg}\left(135°-\alpha \right)=\frac{\mathrm{tg}\left(135°\right)-\mathrm{tg}\left(\alpha \right)}{1+\mathrm{tg}\left(135°\right)·\mathrm{tg}\left(\alpha \right)}=\frac{-1-2}{1+\left(-1\right)·2}=\frac{-3}{-1}=3$

Portanto,

$\boxed{\mathrm{tg}\left(\alpha \right)+\mathrm{tg}\left(\theta \right)=2+3=5}$