Enem 2020 - dia 2 - Ciências da natureza e suas tecnologias

Questão 141 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem Aumento e Desconto

Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura.

Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento $c$ $c$ e largura $L$ , e a base de T2 tem comprimento $\frac{c}{2}$ $\frac{c}{2}$ e largura $2 L$ .
Para finalizar o processo de aeração, sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, denotada por $x$ , e altura da coluna de líquido que chegou a T2, denotada por $y$ .

Disponível em: www.dec.ufcg.edu.br. Acesso em: 21 abr. 2015.

A equação que relaciona as medidas das alturas $y$ e $x$ é dada por

a)	$y = 1, 265 x$
b)	$y = 1, 250 x$
c)	$y = 1, 150 x$
d)	$y = 1, 125 x$
e)	$y = x$

Resolução

Note que os dois prismas têm a mesma área da base:

$c \cdot L$ no caso de T1 e $\frac{c}{2} \cdot 2 L = c \cdot L$ no caso de T2.

Uma vez que o volume do prisma reto é dado pelo produto da área da base pela sua altura e ambos os tanques onde o liquido ficará armazenado têm a mesma área da base, comparar o volume do líquido em cada um dos tanques é equivalente a comparar as suas respectivas alturas.

De acordo com o enunciado, o volume em A1 é 15% maior do que no tanque T1, ou seja, ele equivale a 115%, ou ainda, $1, 15$ vezes o volume que ele tinha em T1. Além disso, ele passa por outro aumento, de 10% em A2, passando a valer 110%, isto é, $1, 1$ vezes, o volume que ele tinha em A1.

Portanto em A2, o volume do líquido equivale a $1, 1 \cdot 1, 15 = 1, 265$ vezes o volume inicial.

Levando em consideração o comentário feito inicialmente, como o volume é 1,265 vezes o volume inicial, a altura do líquido em T2, denotada por $y$ será 1,265 vezes a altura do líquido em T1, denotada por $x$ , logo:

$y = 1, 265 x$

Questão 142 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas Inversamente Proporcionais

Para chegar à universidade, um estudante utiliza um metrô e, depois, tem duas opções:

seguir num ônibus, percorrendo 2,0 km;
alugar uma bicicleta, ao lado da estação do metrô, seguindo 3,0 km pela coclovia.

O quadro fornece as velocidades médias do ônibus e da bicicleta, em km/h, no trajeto metrô-universidade.

A fim de poupar tempo no deslocamento para a universidade, em quais dias o aluno deve seguir pela ciclovia?

a)	Às segundas, quintas e sextas-feiras.
b)	Às terças e quintas-feiras e aos sábados.
c)	Às segundas, quartas e sextas-feiras.
d)	Às terças, quartas e sextas-feiras.
e)	Às terças e quartas-feiras e aos sábados.

Resolução

Note que a distância percorrida de bicicleta é $\frac{3}{2} = 1, 5$ vez maior que a distância percorrida de ônibus.

Para que o trajeto pela ciclovia poupe tempo, a velocidade média da bicicleta deve ser mais que $1, 5$ vez maior do que a velocidade média do ônibus.

A fim de determinar em quais dias da semana isto ocorre iremos, para cada linha da tabela, dividir a velocidade da bicicleta pela velocidade do ônibus (ambas dadas em $k m / h$ ):

Segunda: $\frac{15}{9} ~ 1, 6$

Terça: $\frac{22}{20} = 1, 1$

Quarta: $\frac{24}{15} = 1, 6$

Quinta: $\frac{15}{12} = 1, 25$

Sexta: $\frac{18}{10} = 1, 8$

Sábado: $\frac{16}{30} ~ 0, 53$

Daí que, este quociente é maior que 1,5 nos dias: Segunda, Quarta e Sexta.

Questão 143 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Potenciação

Pesquisadores da Universidade de Tecnologia de Viena, na Áustria, produziram miniaturas de objetos em impressoras 3D de alta precisão. Ao serem ativadas, tais impressoras lançam feixes de laser sobre um tipo de resina, esculpindo o objeto desejado. O produto final da impressão é uma escultura microscópica de três dimensões, como visto na imagem ampliada.

A escultura apresentada é uma miniatura de um carro de Fórmula 1, com 100 micrômetros de comprimento. Um micrômetro é a milionésima parte de um metro.
Usando notação científica, qual é a representação do comprimento dessa miniatura, em metro?

a)	$1, 0 \times 10^{- 1}$
b)	$1, 0 \times 10^{- 3}$
c)	$1, 0 \times 10^{- 4}$
d)	$1, 0 \times 10^{- 6}$
e)	$1, 0 \times 10^{- 7}$

Resolução

Sendo o comprimento da miniatura $L = 100 μm$ , e $1 μm = \frac{1}{1.000.000} m = 10^{- 6} m$ , segue que:

$L = 100 μm = 10^{2} \cdot 10^{- 6} m = 1, 0 \cdot 10^{- 4} m$

Questão 144 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Cones Retos

No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

a)	4,00.
b)	4,87.
c)	5,00.
d)	5,83.
e)	6,26.

Resolução

Observe que, uma vez que a base do cone é uma circunferência, para dividi-la em 20 arcos iguais são necessários 20 pontos de fixação, logo serão necessários 20 pedaços de mangueira (que deverão ter o mesmo comprimento uma vez que representam geratrizes de um cone reto, já que o poste está fixado perpendicularmente ao chão em um ponto que deverá ser o centro da base do cone).

Assim, ao dividir os 100 metros de mangueira em 20 partes iguais, teremos partes de 5 metros de comprimento.

Como o poste está posicionado perpendicularmente ao chão, temos o seguinte triângulo retângulo formado por parte do poste, pela mangueira e pelo raio da circunferência da base do cone:

Logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

$x = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 m$

Questão 145 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Geometria Trigonometria

Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito com estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.

Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizeram 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetros, seja a mais próxima possível de

a)	9.
b)	15.
c)	26.
d)	52.
e)	60.

Resolução

De acordo com o enunciado podemos esboçar a situação da seguinte forma:

Quando o sol chega na posição de 30º com a posição a pino, temos:

Note que desta forma o sol deve gerar a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia. Como o espaçamento entre as vigas é de 30 cm, podemos inferir que o espaçamento entre as sombras, nesta situação, seja de 15 cm para que satisfaça a condição.

Tomando como $h$ a altura da viga, temos:

Considere o triângulo em destaque:

Aplicando a tangente no ângulo de 60º podemos escrever:

$tg 60 º = \frac{h}{15}$

$\sqrt{3} = \frac{h}{15}$

$h = 15 \sqrt{3}$ cm

Aproximando $\sqrt{3}$ para $1, 73$ :

$h = 15 \cdot 1, 73$

$h = 25, 95$ cm

Ou seja:

$h ≅ 26$ cm.

Questão 146 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

A fabricação da bandeira nacional deve obedecer ao descrito na Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971, que trata dos Símbolos Nacionais. No artigo que se refere às dimensões da Bandeira, observa-se:
"Para cálculos das dimensões, se tomada por base a largura, dividindo-a em 14 (quatorze) partes iguais, sendo que cada uma das partes será considerada uma medida ou módulo (M). os demais requisitos dimensionais seguem o critério abaixo:

I.    Comprimento será de 20 módulos (20M).
II.    A distância dos vértices do losango Amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7M);
    III.    O raio do Círculo azul no meio do losango Amarelo será de 3 módulos e meio (3,5M)”

Brasil. Lei n. 5.700. de 1º de setembro de 1971. Disponível em: www.planalto.gov.br.
Acesso em: 15 set. 2015.

A figura indica as cores da bandeira do Brasil e localiza o quadro externo a que se refere a Lei n. 5.700.

Um torcedor, preparando-se para a Copa do Mundo e dispondo de cortes de tecidos verde $(180 cm \times 150 cm)$ e amarelo (o quanto baste), deseja confeccionar a maior Bandeira Nacional possível a partir das medidas do tecido verde.
Qual a medida, em centímetros e, do lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para confecção do círculo da bandeira desejada?

a)	27
b)	32
c)	53
d)	63
e)	90

Resolução

Pela descrição feita no enunciado, pode-se determinar, na figura, as seguintes dimensões em função da unidade M:

O torcedor possui um tecido de $180 cm \times 150 cm$ , e deseja confeccionar a maior bandeira possível. Para que esse objetivo seja alcançado, a largura ou o comprimento do tecido deve ser mantido, vamos analisar cada possibilidade:

(i) Mantendo a largura, temos que a unidade M é:

$M = \frac{150}{14} = \frac{75}{7} \Rightarrow 20 M = 20 \cdot \frac{75}{7} = \frac{1500}{7} ≅ 214 cm$

Como o comprimento é maior do que $180 c m$ , não é possível manter a largura.

(ii) Mantendo o comprimento, temos que a unidade M é:

$M = \frac{180}{20} = 9 cm \Rightarrow 14 M = 14 \cdot 9 cm = 126 cm$

Logo, para confeccionar a maior bandeira deve-se manter o comprimento, de $180 cm$ .

Então, o lado do menor quadrado para confeccionar o círculo central deve ser igual ao seu diâmetro, ou seja:

$7 M = 7 \cdot 9 = 63 cm$ .

Questão 147 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

Uma empresa de ônibus utiliza um sistema de vendas de passagens que fornece a imagem de todos os assentos do ônibus, diferenciando os assentos já vendidos, por uma cor mais escura, dos assentos ainda disponíveis. A empresa monitora, permanentemente, o número de assentos já vendidos e compara-o com o número total de assentos do ônibus para avaliar a necessidade de alocação de veículos extras.
Na imagem tem-se a informação dos assentos já vendidos e dos ainda disponíveis em um determinado instante.

A razão entre o número de assentos já vendidos e o total de assentos desse ônibus, no instante considerado na imagem, é

a)	$\frac{16}{42}$
b)	$\frac{16}{26}$
c)	$\frac{26}{42}$
d)	$\frac{42}{26}$
e)	$\frac{42}{16}$

Resolução

Pela imagem, temos:

(1) assentos vendidos (cor mais escura):

- quais são: 01, 02, 03, 04, 05, 07, 09, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 23, 27, 33

- quantidade: 16

(2) razão entre assentos vendidos e total:

$r = \frac{assentos vendidos}{total} = \frac{16}{42} \Leftrightarrow r = \frac{16}{42}$

Questão 148 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Volume (Cilindros)

Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d'água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d'água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d'água do tipo A.
Se $R$ denota o raio da caixa d'água do tipo A, então o raio da caixa-d'água do tipo B é

a)	$\frac{R}{2}$
b)	$2 R$
c)	$4 R$
d)	$5 R$
e)	$16 R$

Resolução

O volume $V$ de um cilindro de raio da base $r$ e altura $h$ é dado por $V = π \cdot r^{2} \cdot h$ .

Sendo $V_{A} = V_{B}$ e $h_{B} = \frac{25}{100} \cdot h_{A} = \frac{h_{A}}{4}$ , segue que:

$V_{A} = V_{B} \Leftrightarrow π \cdot {r_{A}}^{2} \cdot h_{A} = π \cdot {r_{B}}^{2} \cdot h_{B} \Leftrightarrow R^{2} \cdot h_{A} = {r_{B}}^{2} \cdot \frac{h_{A}}{4} \Leftrightarrow$

${r_{B}}^{2} = 4 R^{2} \Leftrightarrow r_{B} = \pm 2 R$

Sendo a medida do raio um número positivo, ficamos com:

$r_{B} = 2 R$

Questão 149 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Áreas de quadriláteros

A lei municipal para a edificação de casas em lotes de uma cidade determina que sejam obedecidos os seguintes critérios:

afastamento mínimo de 4 m da rua;
afastamento mínimo de 1 m da divisa com outro lote;
área total construída da casa entre 40% e 50% da área total do lote.

Um construtor submeteu para aprovação na prefeitura dessa cidade uma planta com propostas para a construção de casas em seus 5 lotes. Cada lote tem área medindo 200 m².
A imagem apresenta um esquema, sem escala, no qual estão representados os lotes, as ruas e os afastamentos considerados nos projetos entre as casas e as divisas dos lotes. As medidas indicadas no esquema estão expressas em metro.

A prefeitura aprovará apenas a planta da casa

a)	1.
b)	2.
c)	3.
d)	4.
e)	5.

Resolução

Para receber a aprovação da prefeitura o lote deve obedecer 3 critérios:

(i) afastamento mínimo de 4 m da rua;

(ii) afastamento mínimo de 1 m da divisa com outro lote;

(iii) área total da casa tal que:

$40 % \cdot 200 m^{2} < A_{casa} < 50 % \cdot 200 m^{2} \Rightarrow 80 m^{2} < A_{casa} < 100 m^{2}$

Verificando cada casa:

Casa 1: Reprovado

Área da casa: $(10 - 5) \cdot (20 - 5) = 5 \cdot 15 = 75 m^{2}$ , menor do que a área mínima permitida.

Casa 2: Reprovado

Área da casa: $(10 - 2) \cdot (20 - 5) = 8 \cdot 15 = 120 m^{2}$ , maior do que a área máxima permitida.

Casa 3: Reprovado

Afastamento mínimo da rua menor do que 4 m.

Casa 4: Reprovado

Área da casa: $(10 - 5) \cdot (20 - 8) = 5 \cdot 12 = 60 m^{2}$ , menor do que a área mínima permitida.

Casa 5: Aprovado

Área da casa: $(10 - 5) \cdot (20 - 2) = 5 \cdot 18 = 90 m^{2}$ , que está na faixa permitida e obedece aos afastamentos tanto da rua quando dos lotes vizinhos.

Portanto, a prefeitura aprovará apenas a casa 5.

Questão 150 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Permutação Simples e com Reptição

Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem "TOM MARVOLO RIDDLE" gerou a frase "I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase "I AM POTTER", de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

a)	$9!$
b)	$4! 5!$
c)	$2 \times 4! 5!$
d)	$\frac{9!}{2}$
e)	$\frac{4! 5!}{2}$

Resolução

Veja que a frase "I AM POTTER" possui 9 letras, sendo 4 vogais ( $V$ ) e 5 consoantes ( $C$ ). Como é necessário intercalar as consoantes com as vogais, só existe uma única configuração para escrever esse anagrama:

$C \cdot V \cdot C \cdot V \cdot C \cdot V \cdot C \cdot V \cdot C$

Nessa configuração, precisamos trocar entre si as vogais e trocar entre si as consoantes. Isto é, fazer permutações. Desse modo, fazemos:

(1) para as vogais:

Como são todas vogais diferentes, temos permutação simples:

$v = P_{4} = 4!$

(2) para as consoantes:

Como existem duas letras T, temos permutação com repetição:

$c = {P_{5}}^{2} = \frac{5!}{2!}$

Logo, o total de anagramas formados é dado por:

$T = v \cdot c = \frac{4! \cdot 5!}{2}$