Questão 150 Enem 2020 - dia 2 - Ciências da natureza e suas tecnologias

Questão 150

Permutação Simples e com Reptição

Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem "TOM MARVOLO RIDDLE" gerou a frase "I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase "I AM POTTER", de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

a)	$9!$
b)	$4! 5!$
c)	$2 \times 4! 5!$
d)	$\frac{9!}{2}$
e)	$\frac{4! 5!}{2}$

Resolução

Veja que a frase "I AM POTTER" possui 9 letras, sendo 4 vogais ( $V$ ) e 5 consoantes ( $C$ ). Como é necessário intercalar as consoantes com as vogais, só existe uma única configuração para escrever esse anagrama:

$C \cdot V \cdot C \cdot V \cdot C \cdot V \cdot C \cdot V \cdot C$

Nessa configuração, precisamos trocar entre si as vogais e trocar entre si as consoantes. Isto é, fazer permutações. Desse modo, fazemos:

(1) para as vogais:

Como são todas vogais diferentes, temos permutação simples:

$v = P_{4} = 4!$

(2) para as consoantes:

Como existem duas letras T, temos permutação com repetição:

$c = {P_{5}}^{2} = \frac{5!}{2!}$

Logo, o total de anagramas formados é dado por:

$T = v \cdot c = \frac{4! \cdot 5!}{2}$