Enem 2020 - dia 2 - Ciências da natureza e suas tecnologias

Questão 171 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Análise Combinatória

Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será composto por peças individuais, cada uma simbolizando um único algarismo.

Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de todos os quartos?

a)	160
b)	157
c)	130
d)	120
e)	60

Resolução

Vamos dividir por andares:

(1° andar): os números dos quartos vão de 100 a 199.

- quartos com números na forma $1 2_$ : 10

- quartos com números na forma $1_2$ : 10

Assim, a quantidade de números 2 utilizados é dada por $10 + 10 = 20$ . Logo, são 20 plaquinhas.

(2° andar): os números dos quartos vão de 200 a 299.

- todos os quartos começam com 2: 100

- quartos com números na forma $2 2_$ : 10

- quartos com números na forma $2_2$ : 10

Assim, a quantidade de números 2 utilizados é dada por $100 + 10 + 10 = 120$ . Logo, são 120 plaquinhas.

(3° andar): os números dos quartos vão de 300 a 399.

- quartos com números na forma $3 2_$ : 10

- quartos com números na forma $3_2$ : 10

Assim, a quantidade de números 2 utilizados é dada por $10 + 10 = 20$ . Logo, são 20 plaquinhas.

Portanto, o total de plaquinhas com o número 2 é

$20 + 120 + 20 = 160 plaquinhas$

Questão 172 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Áreas de quadriláteros Grandezas Diretamente Proporcionais

O fenômeno das manifestações populares de massa traz à discussão como estimar o número de pessoas presentes nesse tipo de evento. Uma metodologia usada é: no momento do ápice do evento, é feita uma foto aérea da via pública principal na área ocupada, bem como das vias afluentes que apresentem aglomerações de pessoas que acessam a via principal. A foto é sobreposta por um mapa virtual das vias, ambos na mesma escala, fazendo-se um esboço geométrico da situação. Em seguida, subdivide-se o espaço total em trechos, quantificando a densidade, da seguinte forma:

    • 4 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem andando em uma mesma direção;
    • 5 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem se movimentando sem deixar o local;
    • 6 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem paradas.

É feito, então, o cálculo do total de pessoas, considerando os diversos trechos, e desconta-se daí 1 000 pessoas para cada carro de som fotografado.

Com essa metodologia, procederam-se aos cálculos para estimar o número de participantes na manifestação cujo esboço geométrico é dado na figura. Há três trechos na via principal: MN, NO e OP, e um trecho numa via afluente da principal: QR.

Obs.: a figura não está em escala (considere as medidas dadas).

Segundo a metodologia descrita, o número estimado de pessoas presentes a essa manifestação foi igual a

a)	110 000
b)	104 000
c)	93 000
d)	92 000
e)	87 000

Resolução

Para determinar a quantidade de pessoas, precisamos determinar a área de cada um dos trechos destacados.

Assumindo que eles sejam retângulos, temos que tais áreas são dadas por:

MN: $30 \cdot 100 = 3000 m^{2}$

NO: $300 \cdot 30 = 9000 m^{2}$

OP: $200 \cdot 30 = 6000 m^{2}$

QR: $100 \cdot 30 = 3000 m^{2}$

De acordo com a legenda, nos trechos MN e QR, as pessoas estão andando na mesma direção. Neste caso, de acordo com o enunciado, considera-se que há 4 pessoas por metro quadrado, ou seja, há $3000 \cdot 4 = 12000$ pessoas no trecho MN e $3000 \cdot 4 = 12000$ pessoas no trecho QR.

Já no trecho NO, considera-se que as pessoas estão paradas e a densidade dada é 6 pessoas por metro quadrado, totalizando $9000 \cdot 6 = 54000$ pessoas.

Por fim, no trecho OP considera-se que as pessoas estão se movimentando sem deixar o local e, neste caso, a densidade é de 5 pessoas por metro quadrado, o que nos fornece $6000 \cdot 5 = 30000$ pessoas.

Desconsiderando os carros de som, temos um total de

$12000 + 12000 + 54000 + 30000 = 108000$

pessoas.

Observe que a figura apresenta 4 carros de som e, de acordo com o enunciado, devem-se descontar 1000 pessoas para cada carro de som, ou seja, 4000 pessoas devem ser descontadas das 108000 pessoas, obtendo

$108000 - 4000 = 104000$

pessoas presentes na manifestação.

Questão 173 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua base.

A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.
A medida da altura, em centímetros, dessa caixa de vidro deverá ser igual a

a)	12
b)	14
c)	16
d)	18
e)	20

Resolução

Temos as seguintes medidas no troféu original:

Devemos construir uma miniatura proporcional ao troféu com a maior medida possível, de modo que caiba em uma caixa de vidro.

A base deve ficar a uma distância de ao menos 1 cm da parede da caixa de vidro, como a base da caixa de vidro é um retângulo de 10 cm por 8 cm e a base do troféu é quadrada, o maior valor possível para a base é um quadrado de lado 6 cm, de modo a restar 1 cm de cada lado entre a base do troféu e o lado de 8 cm da caixa de vidro. Além disso, o ponto mais alto da miniatura deve ficar a 2 cm do topo da caixa, veja a figura:

Como os sólidos são proporcionais, então a altura $h$ da miniatura pode ser determinada por:

$\frac{6}{50} = \frac{h}{100} \Rightarrow h = 12 cm$ .

Portanto, a altura da caixa de vidro deverá ser $12 + 2 = 14 cm$ .

Questão 174 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equações e inequações modulares

Uma casa de dois andares está sendo projetada. É necessário incluir no projeto a construção de uma escada para o acesso ao segundo andar. Para o cálculo das dimensões dos degraus utilizam-se as regras:

$|2 h + b - 63, 5| \leq 1, 5$ e $16 \leq h \leq 19$ ,

nas quais $h$ é a altura do degrau (denominada espelho) e $b$ é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolheu-se a altura do degrau como sendo $h = 16$ . As unidades de $h$ e $b$ estão em centímetro.

Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada ( $b$ ) deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é

a)	$30 \leq b$
b)	$30 \leq b \leq 31, 5$
c)	$30 \leq b \leq 33$
d)	$31, 5 \leq b \leq 33$
e)	$b \leq 33$

Resolução

Como $h = 16 cm$ , podemos substituir na inequação e encontrar:

$|2 \cdot 16 + b - 63, 5| \leq 1, 5 \Rightarrow |b - 31, 5| \leq 1, 5$ (em centímetros)

Lembre-se! Sendo $a > 0$ , nas inequações modulares, temos:

$|x| \leq a \Rightarrow - a \leq x \leq a$

Assim, podemos resolver a inequação acima:

$|b - 31, 5| \leq 1, 5 \Rightarrow \underset{+ 31, 5}{\underset{⏟}{- 1, 5}} \leq \underset{+ 31, 5}{\underset{⏟}{b - 31, 5}} \leq \underset{+ 31, 5}{\underset{⏟}{1, 5}} \Rightarrow 30 \leq b \leq 33$ , com $b$ em centímetros.

Questão 175 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Grandezas Diretamente Proporcionais

Muitos modelos atuais de veículos possuem computador de bordo. Os computadores informam em uma tela diversas variações de grandezas associadas ao desempenho do carro, dentre elas o consumo médio de combustível. Um veículo, de um determinado modelo, pode vir munido de um dos dois tipos de computadores de bordo:

• Tipo A: informa a quantidade X de litro de combustível gasto para percorrer 100 quilômetros;
• Tipo B: informa a quantidade de quilômetro que o veículo é capaz de percorrer com um litro de combustível

Um veículo utiliza o computador do Tipo A, e ao final de uma viagem o condutor viu apresentada na tela a informação " $\frac{X}{100}$ ".

Caso o seu veículo utilizasse o computador do Tipo B, O valor informado na tela seria obtido pela operação

a)	$X \cdot 100$
b)	$\frac{X}{100}$
c)	$\frac{100}{X}$
d)	$\frac{1}{X}$
e)	$1 \cdot X$

Resolução

A informação $X / 100$ na tela de um computador do tipo A indica que o veículo gasta $X$ litros de combustível para percorrer $100 k m$ .

Para determinar a informação equivalente em um computador do tipo B, devemos entender quantos quilômetros são percorridos, com este veículo, utilizando 1 litro de combustível.

Ora, se ele gasta $X$ litros de combustível para percorrer $100 k m$ então, cada litro de combustível é suficiente para percorrer, em média, $\frac{100}{X}$ quilômetros.

Questão 176 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Termo Geral P.G.

O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

a)	$(\frac{1}{2})^{100}$
b)	$(\frac{1}{2})^{99}$
c)	$(\frac{1}{2})^{97}$
d)	$(\frac{1}{2})^{- 98}$
e)	$(\frac{1}{2})^{- 99}$

Resolução

Perceba que as medidas dos lados formam a seguinte sequência:

$(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, . . .)$

Desse modo, os lados formam uma progressão geométrica. Isto é, para obter o próximo lado, precisamos multiplicar pela razão $q = \frac{1}{2}$ .

Assim, a medida do centésimo quadrado construído é dada por:

$a_{100} = a_{1} \cdot q^{100 - 1} = 1 \cdot {(\frac{1}{2})}^{99} \Rightarrow a_{100} = {(\frac{1}{2})}^{99}$

Questão 177 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem

O gerente de uma loja de cosméticos colocou à venda cinco diferentes tipos de perfume, tendo em estoque na loja as mesmas quantidades de cada um deles. O setor de controle de estoque encaminhou ao gerente registros gráficos descrevendo os preços unitários de cada perfume, em real, e a quantidade vendida de cada um deles, em percentual, ocorrida no mês de novembro.

Dados a chegada do final de ano e o aumento das vendas, a gerência pretende aumentar a quantidade estocada do perfume do tipo que gerou a maior arrecadação em espécie, em real, no mês de novembro.

Nessas condições, qual o tipo de perfume que deverá ter maior reposição no estoque?

a)	I
b)	II
c)	III
d)	IV
e)	V

Resolução

Para associar os dois gráficos e assim decidir qual perfume deverá ter maior reposição no estoque devemos considerar que o percentual de venda de cada perfume colabora com a receita da empresa mediante o seu valor de venda, ou seja, basta multiplicarmos o percentual de venda pelo valor de cada produto e assim determinar aquele que gera maior contribuição para a receita.

Perfume I:

$\frac{13}{100} \cdot 200 = 26$

Perfume II:

$\frac{10}{100} \cdot 170 = 17$

Perfume III:

$\frac{16}{100} \cdot 150 = 24$

Perfume IV:

$\frac{29}{100} \cdot 100 = 29$

Perfume V:

$\frac{32}{100} \cdot 80 = 25, 6$

Portanto o perfume IV deverá ter maior reposição no estoque.

Questão 178 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Média Aritmética

O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido.

Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?

a)	1,96
b)	1,98
c)	2,05
d)	2,06
e)	2,08

Resolução

Consideramos dois momentos:

(1° momento): temos 15 jogadores, sendo os quatro deles com estatura de 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m, e com a média das alturas igual a 1,93 m. Desse modo:

$\frac{j_{1} + j_{2} + j_{3} + . . . + j_{11} + 1, 78 + 1, 82 + 1, 84 + 1, 86}{15} = 1, 93 \Rightarrow j_{1} + j_{2} + j_{3} + . . . + j_{11} = 15 \cdot 1, 93 - 1, 78 - 1, 82 - 1, 84 - 1, 86 \Rightarrow j_{1} + j_{2} + j_{3} + . . . + j_{11} = 21, 65$

(2° momento): dos 15 jogadores, quatro deles foram substituídos por outros de alturas: 2,02 m, $x_{1}$ , $x_{2}$ e $x_{3}$ . Como a nova média é no mínimo 1,99m, temos:

$\frac{\overset{21, 65}{\overset{⏞}{j_{1} + j_{2} + j_{3} + . . . + j_{11}}} + 2, 02 + x_{1} + x_{2} + x_{3}}{15} \geq 1, 99 \Rightarrow 21, 65 + 2, 02 + x_{1} + x_{2} + x_{3} \geq 29, 85 \Rightarrow x_{1} + x_{2} + x_{3} \geq 6, 18$

Para obtermos a média mínima dos três jogadores, precisamos que a soma de suas alturas seja a menor possível, isto é: seja 6,18 m. Então, concluímos que:

$x = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} = \frac{6, 18}{3} = 2, 06 m$

Questão 179 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Geometria Funções

O consumo de espumantes no Brasil tem aumentado nos últimos anos. Uma das etapas do seu processo de produção consiste no envasamento da bebida em garrafas semelhantes à da imagem. Nesse processo, a vazão do líquido no interior da garrafa é constante e cessa quando atinge o nível de envasamento.

Qual esboço de gráfico melhor representa a variação da altura do líquido em fução do tempo, na garrafa indicada na imagem?

a)
b)
c)
d)
e)

Resolução

Como a vazão do líquido para encher a garrafa é constante, perceba que até determinado momento a altura do líquido na garrafa aumentará linearmente. O intervalo de aumento linear da altura ocorre até que o líquido atinja a linha em destaque na imagem a seguir, uma vez que até esta altura as laterais são perpendiculares ao plano da base:

Figura 1

Depois desse momento, a garrafa passa a afunilar e assim a altura do líquido aumenta velocidade crescente, portanto, o aumento da altura passa a ser com taxas crescentes, configurando o seguinte esboço gráfico (perceba em destaque no gráfico a seguir o instante em que o líquido atinge a linha tracejada da Figura 1 e o crescimento da altura passa a ser a taxas crescentes):

Figura 2

Questão 180 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Aumento e Desconto Porcentagem

O quadro representa os gastos mensais, em real, de uma família com internet, mensalidade escolar e mesada do filho.

No ínicio do ano, a internet e a mensalidade escolar tiveram acréscimos, respectivamente, de 20% e 10%. Necessitando manter o valor da despesa mensal total com os itens citados, a família reduzirá a mesada do filho.

Qual será a porcentagem da redução da mesada?

a)	15,0
b)	23,5
c)	30,0
d)	70,0
e)	76,5

Resolução

Para se fazer um aumento ou um desconto de $x %$ basta multiplicar a quantia por $(1 + x %)$ ou $(1 - x %)$ respectivamente.

Com os acréscimos a família passará a pagar R$144,00 na internet e R$770,00 na mensalidade escolar, uma vez que:

$120 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 120 \cdot 1, 2 = 144$

$700 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 700 \cdot 1, 1 = 770$

Ou seja, um total de $(144 - 120) + (770 - 700) = 24 + 70 = 94$ reais de diferença que deverão ser descontados da mesada do filho.

Portanto, adotando como x o desconto percentual da mesada, temos:

$400 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 400 - 94$

$(1 - \frac{x}{100}) = \frac{306}{400}$

$1 - \frac{x}{100} = 0, 765$

$x = 23, 5$