Questão 178 Enem 2020 - dia 2 - Ciências da natureza e suas tecnologias

Questão 178

Média Aritmética

O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido.

Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?

a)	1,96
b)	1,98
c)	2,05
d)	2,06
e)	2,08

Resolução

Consideramos dois momentos:

(1° momento): temos 15 jogadores, sendo os quatro deles com estatura de 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m, e com a média das alturas igual a 1,93 m. Desse modo:

$\frac{j_{1} + j_{2} + j_{3} + . . . + j_{11} + 1, 78 + 1, 82 + 1, 84 + 1, 86}{15} = 1, 93 \Rightarrow j_{1} + j_{2} + j_{3} + . . . + j_{11} = 15 \cdot 1, 93 - 1, 78 - 1, 82 - 1, 84 - 1, 86 \Rightarrow j_{1} + j_{2} + j_{3} + . . . + j_{11} = 21, 65$

(2° momento): dos 15 jogadores, quatro deles foram substituídos por outros de alturas: 2,02 m, $x_{1}$ , $x_{2}$ e $x_{3}$ . Como a nova média é no mínimo 1,99m, temos:

$\frac{\overset{21, 65}{\overset{⏞}{j_{1} + j_{2} + j_{3} + . . . + j_{11}}} + 2, 02 + x_{1} + x_{2} + x_{3}}{15} \geq 1, 99 \Rightarrow 21, 65 + 2, 02 + x_{1} + x_{2} + x_{3} \geq 29, 85 \Rightarrow x_{1} + x_{2} + x_{3} \geq 6, 18$

Para obtermos a média mínima dos três jogadores, precisamos que a soma de suas alturas seja a menor possível, isto é: seja 6,18 m. Então, concluímos que:

$x = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} = \frac{6, 18}{3} = 2, 06 m$