Unesp 2021 - 1ª fase - dia 2

A partir do gráfico da força resultante em função da distância é possível calcular o trabalho realizado sobre a garota. Como a força é nula depois de percorrer 2 metros, o trabalho é não nulo somente no intervalo $0\le d\le 2$ (em metros). Em um gráfico de força em função da distância percorrida na direção desta força, o trabalho é dado pela área sob a curva do gráfico.

Trabalhando em unidades do Sistema Internacional - forças em newtons, distâncias em metros e energia em joule, temos

$W=\frac{2·30}{2}=30 J,$ onde $W$ é o trabalho da força resultante.

Aplicando o teorema da energia cinética, considerando que no início a energia cinética da garota é nula (repouso), o módulo de sua velocidade final será

$$\begin{gathered} W=E_{cin,F}-E_{cin,I} \\ \Rightarrow W=\frac{1}{2}m·v^2-0 \\ \Rightarrow 30=\frac{1}{2}60·v^2 \\ \Rightarrow v=1,0 \mathrm{m}/\mathrm{s}. \end{gathered}$$

Vale ressaltar que todos os cálculos desta parte final foram feitos considerando unidades do SI, portanto a velocidade calculada está em m/s. Além disso, considerando que após percorrer 2 m a resultante sobre a garota é nula, sua velocidade passa a ser constante, durante o deslocamento $d$ no intervalo $2 \mathrm{m}\le d\le 5 \mathrm{m}$, assim sua velocidade após ter percorrido 3,5 m é a mesma calculada acima, isto é, $\boxed{v=1,0 \mathrm{m}/\mathrm{s}}$.

Pela diferença entre as leituras do medidor podemos determinar a quantidade de energia consumida pela casa:

$E=320.287-320.251=36 kWh.$

Como a família fica fora por 30 dias, entre 01/07 e 30/07, transcorreram

$\Delta t=30·24 h=720 h$

com os aparelhos elétricos ligados. A potência desempenhada por estes aparelhos pode, então, ser determinada:

$Pot=\frac{E}{\Delta t}=\frac{36 kWh}{720 h}=0,05 kW=0,05·{10}^3 W=50 W.$

Notas:

1) Normalmente, nos medidores de energia elétrica, a cor diferente do último dígito indica que este corresponde a um decimal (ver Figura 1, abaixo), porém, em muitos casos a marcação da vírgula também é visível. Sendo assim, a questão pecou ao não indicar de forma clara o motivo para o último dígito do medidor estar em cor diferente, podendo ter confundido alguns candidatos, justamente aqueles que conheçam a forma de funcionamento de medidores de energia elétrica. Por outro lado, não seria adequado exigir dos demais candidatos o conhecimento do funcionamento de medidores de energia elétrica, sendo assim sugerimos a anulação da questão. Se o último dígito do mostrador fosse considerado como casa decimal e não unidade, o consumo total seria 3,6 kWh e a potência dos aparelhos em modo de espera seria 5,0W.

Figura 1

2) A forma como o comando do enunciado foi elaborada também foi equivocada, uma vez que o correto seria perguntar a potência de todos os aparelhos da casa em modo de espera e não a potência total dos aparelhos, que é mais apropriadamente utilizada para se referir à potência dos aparelhos em funcionamento.

O escore-z é definido da seguinte meneira:

(i) se escore-z for menor do que -2, tem-se um quadro ligado à magreza;

(ii) se escore-z for maior do que 1, tem-se um quadro relacionado à obesidade;

(iii) se escore-z varia de -2 até 1, tem-se o crescimento ideal.

Buscamos o menino que recebeu a recomendação de uma dieta hipercalórica, ou seja, voltada para quem tem dificuldade em ganhar peso, logo, para escore-z menor do que -2.

Com os dados fornecidos na tabela, podemos montar a seguinte relação com a idade em anos e meses.

Com as idades ajustadas para anos e meses, vamos inserir esses pontos no gráfico fornecido.

Observe que o único ponto que está abaixo da curva que indica o escore-z igual -2 é o menino S.U., logo, é o único que possui o quadro ligado à magreza. Assim, foi ele quem recebeu a orientação para uma dieta hipercalórica.

No texto o trecho "Just 6 million years ago”, a palavra just indica somente, apenas, ou seja, temos a seguinte tradução "Apenas 6 milhões de anos atrás", indicando um passado recente.    

Essa interpretação fica mais evidente quando fazemos a comparação da data de surgimento do de organismos vivos, $3,8 \mathrm{bilhões} = 3,8·{10}^9$ anos atrás, com a data da origem da espécie humana, $6 \mathrm{milhões} = 6·{10}^6$ anos atrás, dividindo o segundo pelo primeiro:

$\frac{6·{10}^6}{3,8·{10}^9}=\frac{6}{3800}\cong 0,00158=1,58·{10}^{-3}$

Portanto, temos que o período após o surgimento da espécie humana corresponde a um pouco mais do que 1 milésimo do período após o surgimento dos organismos vivos.

O enunciado nos garante que a probabilidade de que o resultado seja verdadeiro é de $60\%=0,6$.

Ao analisar os resultados de dois testes, para calcular a probabilidade de que haja pelo menos um resultado falso, podemos pensar na probabilidade total ($100\%=1$) e excluir as situações não favoráveis, que seria o caso em que ambos os resultados são verdadeiros.

Ora, para determinar a probabilidade de ambos os resultados serem verdadeiros, devemos ter que o primeiro teste fornece um resultado verdadeiro E o segundo teste também, daí que esta probabilidade é dada por:

$0,6·0,6=0,36$

Desta forma, a probabilidade procurada é:

$1-0,36=0,64=64\%$

Do enunciado, sabemos que para uma altitude de voo constante, a pressão dinâmica ($P_d$) medida em unidades de $\text{Pa}$, possui expressão

$P_d=k·v^2$

sendo $v$ o módulo da velocidade do avião em relação ao ar, em $\text{m/s}$, e $k$ uma constante positiva que depende da altitude.

Assim, $P_d$ é uma função quadrática em $v$.

Nos gráficos de todas as alternativas são destacados três valores para a velocidade: $v=0 \text{m/s}$, $v=3\times 100 \text{m/s}$ e $v=5\times 100 \text{m/s}$.

A partir da expressão fornecida para $P_d$, obtemos as respectivas imagens:

$P_d\left(0\right)=k·0^2=0 \left(\times 10.000 \text{Pa}\right)$

$P_d\left(300\right)=k·{300}^2=9k·10.000 = 9k \left(\times 10.000 \text{Pa}\right)$

$P_d\left(500\right)=k·{500}^2=25k·10.000 = 25k \left(\times 10.000 \text{Pa}\right)$

Portanto, o gráfico que apresenta corretamente a relação entre $P_d$ e $v$ é o gráfico da alternativa (C).

O primeiro parágrafo nos informa que até o final de 2019 haviam, aproximadamente, 171 mil sistemas de energia solar instalados no Brasil e que $\frac{5}{9}$ destes foram instalados naquele ano.

Considerando que a quantidade de novas instalações triplica a cada ano, o número de novas instalações ano a ano forma uma Progressão Geométrica de razão 3, em que o primeiro elemento, referente ao ano de 2019, é dado por $a_1=\frac{5}{9}·171000$.

3 anos depois, em 2022, esta quantidade terá triplicado em três momentos, fazendo que a quantidade $a_1$ tenha sido multiplicada por $3^3=27$.

Em termos da fórmula do termo geral da PG, podemos escrever que:

$a_4=a_1·q^{n-1}=\frac{5}{9}·171000·3^3=15·171000$

O enunciado pede quantas vezes esta quantidade representa do total de sistemas instalados até o final de 2019 (171000) que, pela equação acima, vale 15.

Da tabela, temos que os diâmetros dos círculos das bases do tronco de cone são dados por$d=30 cm$ e $D=60 cm$. Daí que seus raios são $15 cm$ e $30 cm$, respectivamente.

Também sabemos que a altura do tronco, denotada por $L$, é tal que $L=240 cm$ e, portanto, a distância entre os círculos de diâmetros $D$ e $H$ é de $\frac{3}{8}·240=90 cm$ e, consequentemente, a distância entre os círculos de diâmetros $H$ e $d$ é dada por $240-90=150 cm$. 

Note que o raio da base maior excede o raio da base menor em $15 cm$. Chamando de $x$ o quanto o raio do círculo interno (de diâmetro $H$) excede o raio da base menor, temos a seguinte situação:

Aplicando semelhança de triângulos ao triângulo de catetos cinza à direita, temos:

$\frac{15}{x}=\frac{240}{150} \Rightarrow x=9,375 cm$

Logo, o raio $\frac{H}{2}$ do círculo interno (azul) excede o raio da base menor em $9,375 cm$ tendo, portanto, um raio de $15+9,375=24,375 cm$, donde $H=48,75 cm$.

Sejam $h_1$ e $h_2$ duas taxas de homicídios tais que os respectivos percentuais de área desmatada do município $P_1$ e $P_2$ diferem de $1$ ponto percentual. Utilizando a linha de tendência para relacionar esses valores, temos que

$P_1-P_2=1 \iff \left(1+\frac{9h_1}{400}\right)-\left(1+\frac{9h_2}{400}\right)=1 \iff \frac{9h_1}{400}-\frac{9h_2}{400}=1$

Assim, podemos isolar a diferença $h_1-h_2$:

$\frac{9}{400}\left(h_1-h_2\right)=1 \iff h_1-h_2=\frac{400}{9}=44,\overline{4}$

Portanto, o aumento de $1$ ponto percentual na área desmatada do município está associado a um aumento aproximado na taxa de homicídios de $44$ mortes para cada $100$ mil habitantes.

Observação: A relação entre o percentual de desmatamento $P$ e a taxa de homicídios  $h$ é obtida por uma análise estatística dos dados observados. Isso significa que ela é uma tendência para valores que estão entre o menor e o maior percentual de desmatamento observados e entre a menor e a maior taxa de homicídios observadas. Sendo assim, não é esperado que essa relação seja válida para casos extremos. Por exemplo, segundo essa relação, uma taxa maior que $4.400$ homicídios para cada $100.000$ habitantes resultaria em um percentual de desmatamento maior que $100\%$, que é algo impossível de acontecer.

A questão fornece um gráfico cujos dados dependem tanto do número de mulheres em atividade quanto do número de homens em atividade (são quocientes entre os números de homens e de mulheres autores das publicações científicas em cada país). Sendo assim, é impossível determinar a variação da "quantidade de mulheres em atividade nesses periódicos" sem possuir as variações das quantidades de homens em atividade nesses periódicos.

Analisemos duas situações. Para um país qualquer, chamaremos de $m_1$ e $h_1$ , respectivamente, as quantidades de mulheres e de homens em atividade entre $1999$ e $2003$, e de $m_2$ e $h_2$, respectivamente, as quantidades de mulheres e de homens em atividade entre $2014$ e $2018$.

Situação 1: O número de homens em atividade nos periódicos dobra em todos os países.

Nesse caso, para que a quantidade de mulheres em atividade dobrasse em todos os países, bastaria que a proporção de mulheres para cada homem entre os autores em atividade se mantivesse. Observe: se $\frac{m_1}{h_1}=\frac{m_2}{h_2}$, como $h_2=2h_1$, então,

$\frac{m_2}{2h_1}=\frac{m_1}{h_1} \iff m_2=2m_1$

Como o gráfico indica que essas proporções aumentaram em todos os países, então, nessa situação, a quantidade de mulheres em atividade dobraria em todos os países.

Situação 2: O número de homens em atividade nos periódicos se mantém constante em todos os países.

Nessa situação, como $h_1=h_2$, para que $m_2$ seja o dobro de $m_1$ em um determinado país, seria necessário que a proporção do número de mulheres para o número de homens em atividade dobrasse naquele país. Porém, de acordo com o gráfico, em nenhum dos países analisados a proporção dobrou.

Concluímos assim que é impossível fornecer resposta precisa com os dados que a questão apresenta.

Observação: Caso a pergunta fosse sobre a proporção de mulheres em atividade nos periódicos, então, teríamos a alternativa (A) como resposta, pois a proporção de mulheres para homens em atividade não dobrou em nenhum dos países.