Unesp 2021 - 1ª fase - dia 1

A relação logarítmica dada deve ser usada no sistema CGS (centímetro, grama e segundo), portanto devemos utilizar a energia dada em erg e não em joule. Portanto, comecemos convertendo a unidade de medida:

$\begin{array}{ccc}{10}^{-7} \mathrm{J}& \sout{ }& 1 \mathrm{erg}\\ {10}^{13,8} \mathrm{J}& \sout{ }& E\end{array}\Rightarrow$

$E=\frac{{10}^{13,8}}{{10}^{-7}}={10}^{20,8}\text{ erg}$

Substituindo este valor na relação dada:

$\log E=11,8+1,5M\iff \log {10}^{20,8}=11,8+1,5M$

Sendo a função logarítmica a inversa da função exponencial, temos que:

$\log {10}^{20,8}={\log }_{10}{10}^{20,8}=20,8$

Assim:

$20,8=11,8+1,5M\iff 9=1,5M\iff M=6$

Encontramos o valor de 6 para a magnitude e consultando a tabela

concluímos que a resposta correta é a alternativa B.

Podemos notar que a diferença entre a potência do aparelho antigo e a potência do aparelho novo é igual a:

$∆P=100W-60W=40W$

Esse valor em kW é igual a:

$∆P=40W=40·{10}^{-3}kW$

Como a média de tempo ligada do televisor é de 5 horas por dia, então o consumo total ($T$) referente à diferença de potências calculada acima ao longo de d dias é igual a:

$T=40·{10}^{-3}·5·d$

Como o preço por kWh é de $R\$0,50$, o custo final da energia ($C$) associado ao consumo total acima é:

$C=40·{10}^{-3}·5·d·0,50$

Assim, igualando o custo final de energia ao preço do novo televisor, temos:

$40·{10}^{-3}·5·d·0,50=1200\iff {10}^{-1}·d=1200\iff d=12000 \text{dias}$

Assim, o total de meses é:

$\frac{12000}{30}=\boxed{400\text{ meses}}$

Obervando a tabela abaixo, podemos identificar o genótipo de cada pessoa do casal para cada um dos três tipos de sistema analisado.

Podemos notar que teremos a seguinte configuração:

I) Sistema ABO

Mulher - Genótipo  $I^A{I}^B$

Homem - Genótipo $I^{A}i$

Ou seja, fazendo o cruzamento, temos que o descendente estará enquadrado em um dos casos a seguir:

Portanto, o descendente poderá ter um dos 3 fenótipos a seguir: A, AB ou B.

II) Sistema MN

Inicialmente, devemos observar que há um erro na tabela proposta do sistema MN. 

Observe que os genótipos relacionaos aos fenótipos N e MN estão trocados. A tabela correta deveria ser:

Assim, podemos obervar que o casal terá os seguintes genótipos:

Mulher - Genótipo  $L^M{L}^M$

Homem - Genótipo $L^M{L}^N$

Logo, fazendo o cruzamento,

Portanto, o descendente poderá ter um dos 2 fenótipos a seguir: M ou MN. Apesar do erro na tabela do enunciado, a questão não é comprometida, pois mesmo utilizando-a chegaríamos também em 2 fenótipos.

III) Sistema Rh

Mulher - Genótipo  $Rr$

Homem - Genótipo $rr$

Deste modo, o cruzamento produzirá os seguintes resutados:

Portanto, o descendente poderá ter um dos 2 fenótipos a seguir: Rh⁺ ou Rh^-.

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o descendente terá uma dentre 

$3·2·2=12$ possibilidades fenotípicas.

A velocidade atingida pelo VANT-X é de 1200 km/h. Podemos, então, converter a velocidade do som para esta unidade, ou seja, para km/h multiplicando seu valor em m/s por 3,6. Assim:

$$\begin{gathered} {\mathrm{v}}_{\mathrm{som}} = 340 · 3,6 \Rightarrow \\ {\mathrm{v}}_{\mathrm{som}} = 1224 \mathrm{km}/\mathrm{h} \end{gathered}$$

O número Mach corresponde, então, a razão entre a velocidade do VANT-X no ar (12000 km/h) e a velocidade do som no ar (1224 km/h), tomando o devido cuidado para que as velocidades estejam nas mesmas unidades, um vez que o número Mach é uma medida adimensional. Assim:

$$\begin{gathered} {\mathrm{n}}_{\mathrm{Mach}} = \frac{12000}{1224} \Rightarrow \\ {\mathrm{n}}_{\mathrm{Mach}} \cong 9,8 \end{gathered}$$

O valor acima corresponde a uma velocidade aproximada de Mach 10. 

Na figura apresentada no enunciado, admitimos o triângulo ABC, como no esquema a seguir.

Queremos analisar a medida $\beta$ do ângulo $A\hat{B}C$ e sabemos, conforme os dados fornecidos, que  $AC=1,00$ m. No entanto, NÃO é possível concluir que o triângulo é isósceles, ou seja, que $AB=BC$, pois não é informado no enunciado se os quadriláteros são equiláteros.

Caso $AB=BC$, traçamos a altura $\overline{BH}$ de medida 0,25 m e obtemos os triângulos ABH e CBH retângulos e congruentes entre si pelo caso especial cateto-hipotenusa. 

Aplicando as relações trigonométricas em um desses triângulos, temos que $\mathrm{tg}\left(\frac{\beta }{2}\right)=\frac{0,50}{0,25}=2,00$.

Conforme a tabela fornecida, temos que $\mathrm{tg}63,4°=2,00$, portanto $\frac{\beta }{2}=63,4°\iff \boxed{\beta =126,8°}$.

Como não há como concluir a rigor que o triângulo ABC é isósceles, na teoria não seria possível concluir a medida $\beta$ a partir dos dados fornecidos, portanto sugerimos a anulação desta questão.

Podemos observar que dois lados do triângulo descrito no enunciado são segmentos de reta que correspondem a trechos dos gráficos de duas funções afim. Sejam:

$f\left(x\right)=ax+b$  e $g\left(x\right)=mx+n$,

as funções de preço máximo (verde) e preço mínimo (vermelho), respectivamente. Assim, para determinarmos seus coeficientes, podemos selecionar dois pontos quaisquer de cada uma das retas. Assumindo o dia 19/03 como sendo o valor de abscissa 0, temos que a função $f$ passa pelos pontos (0,7200) e (18,7500). Assim,

$\left\{\begin{array}{l}7200=0·a+b\\ 7500=18·a+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=7200\\ a=\frac{50}{3}\end{array}\right.\iff f\left(x\right)=\frac{50}{3}x+7200$

De maneira análoga, para a função $g$, que passa pelos pontos (0,5200) e (18,6000), temos:

$\left\{\begin{array}{l}5200=0·m+n\\ 6000=18·m+n\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}n=5200\\ m=\frac{400}{9}\end{array}\right.\iff g\left(x\right)=\frac{400}{9}x+5200$

Como queremos a intersecção entre as duas funções, então, igualando suas expressões, vem que:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\iff \frac{50}{3}x+7200=\frac{400}{9}x+5200\iff 2000=\frac{{\displaystyle 250}}{9}x\iff x=72\text{ dias}$

Substituindo, temos:

$f\left(72\right)=\frac{50}{3}·72+7200=\boxed{8400\text{ USD}}$

Inicialmente a equipe de consultoria sugeriu uma redução horária de 10 itens, ou seja, $v=-10$.

Ao calcular $C(-10)$, fazemos:

$$\begin{gathered} C(-10)=-0,01·{\left(-10\right)}^2+0,3·\left(-10\right)+50\iff \\ C(-10)=-0,01·100-3+50\iff \\ C(-10)=-1-3+50\iff \\ C(-10)=46 \end{gathered}$$

Para analisar se é possível obter o mesmo custo com uma variação diferente, igualamos a função $C\left(v\right)$ a 46, ou seja:

$-0,01v^2+0,3v+50=46\iff -0,01v^2+0,3v+4=0$

Calculamos o discriminante da equação quadrática obtida: 

$$\begin{gathered} ∆={\left(0,3\right)}^2-4·\left(-0,01\right)·4\iff \\ ∆=0,09+0,16\iff \\ ∆=0,25 \end{gathered}$$

Para determinar as raízes da equação, fazemos:

$v=\frac{-0,3\pm \sqrt{0,25}}{2·\left(-0,01\right)}=\frac{-0,3\pm 0,5}{-0,02}$

Assim, as raízes são:

$v=\frac{-0,3+0,5}{-0,02}=\frac{0,2}{-0,02}=-10$ ou $v=\frac{-0,3-0,5}{-0,02}=\frac{-0,8}{-0,02}=40$

Ou seja, o mesmo custo é obtido quando há um aumento na produção horária de 40 itens. Porém, podemos notar que v está restrito ao intervalo $\left[-10,30\right]$.

Assim, concluímos que é impossível igualar o custo da redução proposta, pois os recursos disponíveis são insuficientes, uma vez que essa igualdade exigiria um aumento na produção horária de 40 itens.

A área de cada círculo representa o número de infectados. Como o círculo inicial tem raio unitário, sua área é $\mathrm{\pi }·1^2=\mathrm{\pi }$ unidades de área.

Na primeira situação, o número de infectados duplica a cada 3 dias, ou seja, após 30 dias o número de infectados é representado por um círculo cuja área é o 11º termo de uma progressão geométrica. Nesta sequência, o primeiro termo é $a_1=\mathrm{\pi }$, a área do círculo inicial, e a razão é 2. Para determinar o 11º termo, fazemos 

$a_{11}=a_1·2^{10}$.

Assim temos que: $\mathrm{\pi }·{\mathrm{R}}^2=\mathrm{\pi }·2^{10}\iff R^2=1024$.

Como $R>0$ então

 $R=32$.

Analogamente determinamos a medida $r$. Neste caso, o número de infectados duplica a cada 5 dias, ou seja, após 30 dias a área de círculo tem medida equivalente ao 7º termo da progressão geométrica da situação anterior. Então para 7º termo fazemos 

$a_7=a_1·2^6$.

Ou seja: $\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2=\mathrm{\pi }·2^6\iff r^2=64$.

Como $r>0$ então

 $r=8$.

Portanto, $\boxed{R=32}$ e $\boxed{r=8}$.

Os cinco tipos de plástico mais descartados são:

• PP (21%);
• LDPE (20%);
• HDPE (16%);
• PVC (12%)
• PET (10%).

Desses, apenas o PVC não tem dificuldade de reciclagem fácil ou média. Assim, a porcentagem pedida é dada por:

$\frac{21\%+20\%+16\%+10\%}{21\%+20\%+16\%+12\%+10\%}=\frac{67}{79}\boxed{\approx 84,8\%}$

Lembramos que a probabiliade condicional de um evento $B$ ocorrer, dado que um evento $A$ ocorreu, é dada por:

$p\left(B|A\right)=\frac{p\left(B\cap A\right)}{p\left(A\right)}$

(I) A primeira pergunta é a probabilidade condicional $p_1$ de o teste detectar a doença (teste positivo), dado que a pessoa tem de fato a doença. Fazemos:

$p_1=\frac{\text{pessoas com teste positivo e com a doença}}{\text{pessoas com a doença}}=\frac{204}{204+36}=\frac{204}{240}=\boxed{85\%}$

(II) A segunda pergunta é a probabilidade condicional $p_2$ de a pessoa não estar doente, dado que o teste deu positivo. Fazemos:

$p_2=\frac{\text{pessoas sem a doença e com teste positivo}}{\text{pessoas com teste positivo}}=\frac{612}{204+612}=\frac{612}{816}=\boxed{75\%}$