Fuvest - 1ª fase

O desempenho do automóvel com gasolina é: $\frac{374\text{ km}}{34\text{ L}}=11\text{ km/L}$.

Com a gasolina a R$ 2,20 o litro, o custo do quilômetro rodado quando o carro usa somente gasolina é de:

$\frac{\text{R\$ }\mathrm{2,20}/\text{L}}{11\text{ km / L}}=\text{R\$ }\mathrm{0,20}/\text{km}$Já com álcool, seu desempenho é: $\frac{259\text{ km}}{37\text{ L}}=7\text{ km/L}$.

Se o custo do quilômetro rodado, com o carro usando somente gasolina, deve ser igual ao custo de quando o carro usa somente álcool, o preço do litro do álcool deve ser de:

$\frac{\text{R\$ }\mathrm{0,20}}{\text{km}}\times 7\frac{\text{km}}{\text{L}}=$$\text{R\$ 1}\text{,40}/\text{L}$

A medida da hipotenusa $\overline{AC}$ é dada por: $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Como $\overline{DE}$é paralelo a $\overline{FC}$, os triângulos ABC e DBE são semelhantes (critério ângulo-ângulo). Sendo assim:

$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}\Rightarrow \frac{4}{DB}=\frac{5}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{BE}\Rightarrow \{\begin{array}{l}DB=\frac{6}{5}\\ BE=\frac{9}{10}\end{array}$A área do paralelogramo DECF é dada por:

$S_{DECF}=EC\cdot BD=\left(3-\frac{9}{10}\right)\cdot \frac{6}{5}\Rightarrow$$S_{DECF}=\frac{63}{25}$

Aplicando logaritmo de base 10 em ambos os lados da desigualdade do enunciado, temos:

$\log \left({10}^n\right)\le \log \left({12}^{418}\right)\iff n\le 418.\log 12$

$\iff n\le 418.\log \left(2^2.3\right)\iff n\le 418.\left[2.\log 2+\log 3\right]$

Substituindo as aproximações $\log 2\simeq \mathrm{0,3}$ e $\log 3\simeq \mathrm{0,48}$ na última desigualdade acima, temos:

$n\le 418.\left[\mathrm{2.0,30}+\mathrm{0,48}\right]\Rightarrow n\le \mathrm{451,44}$

Assim, segue que o maior número inteiro que satisfaz a desigualdade é n = 451.

Temos a PA $\left(a_1,a_2,a_2\right)$, em que $a_2=2$. Sendo r a razão dessa progressão, temos ainda $\{\begin{array}{l}{a}_1=2-r\\ a_3=2+r\end{array}$, de modo que podemos reescrevê-la como a PA $\left(2-r,\mathrm{2,}2+r\right)$.

Além disso, a seqüência $\left(a_1+\mathrm{3,}{a}_2-\mathrm{3,}{a}_3-3\right)$ forma uma progressão geométrica, de modo que, substituindo seus termos em função da razão r da PA, temos: PG $\left(5-r,-\mathrm{1,}-1+r\right)$.

Assim, pela relação da PG:

${(-1)}^2=(5-r)\cdot (r-1)\Rightarrow r^2-6r+6=0\Rightarrow r=3\pm \sqrt{3}$A opção $r=3+\sqrt{3}$ nos dá $a_1=2-(3+\sqrt{3})=-1-\sqrt{3}<0$, o que contradiz a condição do enunciado de que $a_1>0$.

Já a opção $r=3-\sqrt{3}$ nos dá $a_1=2-(3-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1>0$, que é coerente com a condição $a_1>0$.

Assim, $r=3-\sqrt{3}$.

Se o ângulo central $AÔB$ mede $\frac{\pi }{3}$rad, então o ângulo inscrito $A\widehat{C}B$ determinado pelo mesmo arco $\stackrel{⌢}{AB}$ mede $\frac{\raisebox{1ex}{$\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}{2}=\frac{\pi }{6}$ rad. Vale notar também que o triângulo AOB é equilátero. De fato, esse triângulo é isósceles, uma vez que os lados OA e OB têm medidas iguais ao raio da circunferência. Além disso, como $AÔB=\frac{\pi }{3}\Rightarrow AÔB=60º$, de modo que os ângulos da base desse triângulo são dados por $OÂB=60º$ e $O\widehat{B}A=60º$. Assim, a reta $\overleftrightarrow{OC}$é reta suporte da altura relativa à base AB do triângulo equilátero AOB e, por conseguinte, a mediatriz relativa a esse lado, de modo que o ponto de intersecção da reta $\overleftrightarrow{OC}$ com a corda $\overline{AB}$ é ponto médio de $\overline{AB}$.

Como M é ponto médio de $\overline{AB}$, temos três fatos interessantes:

1)$\overline{AM}=\overline{BM}$2)$A\widehat{M}C=B\widehat{M}C=90°$3) $\overline{CM}$ é um lado em comum aos triângulos ACM e BCM

Desse modo, os triângulos ACM e BCM são congruentes pelo caso LAL, de modo que os lados AB e AC possuem a mesma medida. Assim, o triângulo ABC é isósceles de base AB, donde segue que$AC=BC=a$. Assim, a área do triângulo ABC é dada por:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AC.BC.sen\left(A\widehat{C}B\right)=\frac{1}{2}.a.a.sen\left(\frac{\pi }{6}\right)\Rightarrow$$S_{\Delta ABC}=\frac{a^2}{4}$

Seja $\alpha$ a medida do ângulo $B\widehat{A}F$. A partir do triângulo ABF:

$\text{tg}\alpha =\text{tg}(\text{BÂF})\Rightarrow \text{tg}\alpha =\frac{BF}{AB}=\frac{\raisebox{1ex}{$\sqrt{5}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}{1}\Rightarrow \text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{5}}{4}$

Pelo enunciado, como o segmento AF é bissetriz do ângulo $B\widehat{A}E$, segue que o ângulo $F\widehat{A}E$é congruente ao ângulo $B\widehat{A}F$, de modo que o ângulo $E\widehat{A}D$ tem medida igual a $(90°-2\alpha )$. Vale notar que $\text{tg}(\text{EÂD})=\frac{DE}{AD}=\frac{DE}{1}\Rightarrow \text{tg}(\text{EÂD})=DE$. Assim:

$\text{tg}(E\widehat{A}D)=\text{tg}(90º-2\alpha )\Rightarrow \text{tg}(E\widehat{A}D)=\frac{\text{sen}(90º-2\alpha )}{\cos (90º-2\alpha )}$

Como $\text{sen}(90º-2\alpha )=\cos (2\alpha )$ e $\cos (90º-2\alpha )=\text{sen}(2\alpha )$:

$\text{tg}(E\widehat{A}D)=\frac{\cos (2\alpha )}{\text{sen}(2\alpha )}\Rightarrow \text{tg}(E\widehat{A}D)=\frac{1}{\text{tg}(2\alpha )}\Rightarrow DE=\frac{1}{\text{tg}(2\alpha )}$

A partir da fórmula da tangente do arco duplo:

$\text{tg}(2\alpha )=\frac{2.\text{tg}\alpha }{1-{\text{tg}}^2\alpha }\Rightarrow \frac{1}{\text{tg}(2\alpha )}=\frac{1-{\text{tg}}^2\alpha }{\text{2}\text{.tg}\alpha }$

Desse modo, a medida do segmento DE é dada por:

$DE=\frac{1-{\text{tg}}^2\alpha }{\text{2}\text{.tg}\alpha }$$\Rightarrow DE=\frac{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)}^2}{2.\frac{\sqrt{5}}{4}}=\frac{1-\frac{5}{16}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{11}{16}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{11}{8\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{40}$

Racionalizando o denominador da última fração, encontramos $DE=\frac{11\sqrt{5}}{40}$.

A função f, tendo como gráfico uma parábola, é uma função do 2º grau e, portanto, é do tipo $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$, para $a,b,c\in ℝ$.

Como $f\left(x+1\right)-f\left(x\right)=6x-2$, para $\forall x\in ℝ$, temos:

$\left(a\cdot {\left(x+1\right)}^2+b\cdot \left(x+1\right)+c\right)-\left(a\cdot x^2+b\cdot x+c\right)=6x-2\Rightarrow$$2ax+(a+b)=6x-2$, $\forall x\in ℝ$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}2a=6\\ a+b=-2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=3\\ b=-5\end{array}$Assim, $f\left(x\right)=3x^2-5x+c$, para $c\in ℝ$.

Como o coeficiente do monômio $x^2$ é positivo, essa parábola tem sua concavidade voltada para cima, de modo que seu vértice, nesse caso, corresponde a um ponto de mínimo para a função.

Esse mínimo é atingido na abscissa $x_V$ do vértice, dada por:

$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-5)}{2.3}\Rightarrow$$x_V=\frac{5}{6}$Um esboço da parábola, para um valor arbitrário da constante $c\in ℝ$, é apresentado na figura a seguir:

Seja $G=(x_G,y_G)$ o centro da circunferência C, e R o seu raio.

Se a circunferência C é tangente à reta r, de equação $x+y=2$, no ponto $P=(\mathrm{0,2})$, então o centro da circunferência está sobre a reta s, perpendicular a r em P.

Por outro lado, $P=(\mathrm{0,2})$ e $Q=(\mathrm{1,0})$ são pontos da circunferência, de modo que as distâncias GP e GQ são ambas iguais ao raio R e, portanto, iguais entre si. Esquematizamos a situação na figura a seguir:

No gráfico, a reta t é o conjunto de todos os pontos equidistantes a P e Q (reta mediatriz do segmento $\overline{PQ}$), sendo o centro G a intersecção entre as retas s e t.

Da equação da reta r, temos: $x+y=2\Rightarrow y=-x+2\Rightarrow m_r=-1$Por outro lado, sendo $r\perp s\Rightarrow m_s=-\frac{1}{m_r}=-\frac{1}{-1}=1$A equação da reta s é dada por: $y-2=1\cdot \left(x-0\right)\Rightarrow y=x+2$A equação de t, por sua vez, à qual pertence o ponto G, é dada por:

$PG=QG\Rightarrow \sqrt{{(x_G-0)}^2+{(y_G-2)}^2}=\sqrt{{(x_G-1)}^2+{(y_G-0)}^2}\Rightarrow$$2x_G-4y_G+3=0$Assim, as coordenadas do centro G da circunferência são:

$\{\begin{array}{c}{y}_G=x_G+2\\ 2x_G-4y_G+3=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_G=-\frac{5}{2}\\ y_G=-\frac{1}{2}\end{array}$O raio da circunferência será dado por:

$R=PG=\sqrt{{\left(-\frac{5}{2}-0\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}-2\right)}^2}\Rightarrow$$R=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Maria deve utilizar quatro dígitos dentre 1, 2, 3, 4 ou 5. Como cada um dos dígitos pode ser utilizado mais de uma vez, temos, a partir do princípio fundamental da contagem, que o total de senhas possíveis é dado por $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625$ senhas distintas.

Entretanto, como Maria é supersticiosa, a sequência “13” não pode aparecer em nenhuma posição da senha. Vale notar que existem três situações com essa sequência:

(I) os dois primeiros dígitos são iguais a 1 e 3, respectivamente.

Nesse caso devemos determinar apenas os dois últimos dígitos da senha. Como temos 5 possibilidades para cada dígito, o total de senhas iniciadas por 13 é dado por $5\cdot 5=25$ senhas.

(II) o segundo e terceiro dígitos são iguais a 1 e 3, respectivamente.

Nesse caso devemos determinar o primeiro e quarto dígitos. Novamente, como temos 5 possibilidades para cada um desses dígitos, o total de senhas com dígitos do meio iguais a 1 e 3, nessa ordem, é dado por $5\cdot 5=25$ senhas.

(III) os dois últimos dígitos são iguais a 1 e 3, respectivamente.

Nesse caso devemos determinar os dois primeiros dígitos. Como existem 5 possibilidades para cada um deles, o total de senhas com dígitos finais iguais a 1 e 3, nessa ordem, é dado por $5\cdot 5=25$ senhas.

Vale ressaltar que a senha “1313” aparece tanto no primeiro quanto no último caso, de modo que, tendo sido contada duas vezes, devemos excluí-la uma vez. Assim, o total de senhas onde a sequência “13” aparece ao menos uma vez é dado por $3\cdot 25-1=74$ senhas.

Desse modo, aplicando o princípio da exclusão, o total de senhas onde a sequência “13” não aparece é dado por $625-74=$$551$.

Observe as figuras acima. A primeira mostra a pirâmide ABCDV em questão, com o quadrado EFGH, cuja área se quer determinar. A segunda mostra essa mesma pirâmide projetada na base ABCD, como se estivesse sendo vista de cima, a partir do vértice V.

Como os pontos E, F, G e H são os baricentros das faces laterais da pirâmide, analisando a segunda figura, podemos dizer que $\overline{E\text{'}V\text{'}}$ tem medida igual a dois terços da distância entre $V\text{'}$ e o segmento $\overline{AC}$, que é igual a $\frac{1}{2}$.

Logo, $E\text{'}V\text{'}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$ e, assim, $E\text{'}G\text{'}=\frac{2}{3}$, que representa a diagonal do quadrado E’F’G’H’, congruente ao quadrado EFGH.

Desse modo, sendo L a medida do lado do quadrado em questão, temos que: $\frac{2}{3}=L\sqrt{2}\Rightarrow L=\frac{2}{3\sqrt{2}}$.

Portanto, sua área é dada por $S=L^2=\frac{4}{9\cdot 2}\Rightarrow$$S=\frac{2}{9}$.