Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia

a) Incorreta. De acordo com o primeiro gráfico "Máscaras: camada simples e N95" a eficiência de filtração das máscaras de única camada de qualquer um dos tecidos (Algodão 600 e Seda) é menor que da N95 para qualquer tamanho de partícula. 

b) Incorreta. Conforme indicado no gráfico "Máscaras: camada simples e N95" a eficiência de filtração das máscaras caseiras de única camada de qualquer um dos tecidos (Algodão 600 e Seda) é igual à da N95 para tamanhos de partícula de aproximadamente 15 nm (primeiro ponto do do experimento) conforme indicado abaixo:

c) Correta. Na faixa de tamanho do novo coronavírus (20 - 250 nm) a eficiência de filtração das máscaras tipo N95 é menor que para as feitas em algodão e flanela (camada dupla de dois tecidos diferentes) conforme ilustrado abaixo: 

d) Incorreta. Segundo o gráfico "Máscaras: camada dupla e N95", para a faixa de tamanho do novo coronavírus (20 - 250 nm), as máscaras de algodão/flanela em camada dupla são mais eficientes que as do tipo N95. 

Um oxímetro é um aparelho que funciona através da espectrofotometria e, na triagem para a Covid-19, está sendo muito utilizado para determinar a concentração percentual de oxi-hemoglobina (HbO₂) e de desoxi-hemoglobina (Hb) no sangue do paciente. A hemoglobina é uma proteína tetramérica com a função de transportar, de forma sigmoidal, o oxigênio dos pulmões para os tecidos. A equação apresentada a seguir representa a oxigenação da hemoglobina:

$\mathrm{Hb} + {\mathrm{O}}_2 \to {\mathrm{HbO}}_2$

Tanto a forma desoxi-hemoglobina (Hb) quanto o oxigênio gasoso O₂ são reagentes e a forma oxi-hemoglobina (HbO₂) é um produto da reação, todos na forma aquosa. Cineticamente, as quantidades dos reagentes diminuem ao longo da reação, já o produto apresenta um aumento em sua quantidade,sendo assim, ao apresentar uma relação matemática para a absorção formas de 660 nm (Equação 1) e 940 nm (Equação 2), podemos concluir:

Equação 01:

  A(em 660 nm) = 320 [HbO₂]  +  3227 [Hb]

O maior fator presente nesta equação é para a forma desoxi-hemoglobina (3227) em comparação ao fator presente na forma oxi-hemoglobina (320) e, dessa maneira, deve ocorrer um uma diminuição da absorçao neste caso, visto que o reagente Hb é consumido (diminui a concentração) ao longo do processo.

Equação 02:

A(em 940 nm) = 1214 [HbO₂]  +  693 [Hb]

O maior fator presente nesta equação é para a forma oxi-hemoglobina (1214) em comparação ao fator presente na forma desoxi-hemoglobina (693) e, dessa maneira, deve ocorrer um aumento da absorção neste comprimento de onda, visto que o produto HbO₂ é formado (aumenta a concentração) ao longo do processo.

A figura indica a pressão dos pneus recomendada pelo fabricante para as situações de carga leve e carga máxima do veículo.    
Com a mudança de temperatura de 10 °C (283 K) para 30°C (303 K), as pressões dos pneus dianteiro e traseiro, ambos de volume invariável, sofreram variações para os seguintes valores: 

Pneus dianteiros: $\frac{p.\cancel{V}}{T}=\frac{p\text{'}.\cancel{V\text{'}}}{T\text{'}} \Rightarrow \frac{p}{T}=\frac{p\text{'}}{T\text{'}} \Rightarrow \frac{{\displaystyle 29 psi}}{{\displaystyle 283 K}}=\frac{{\displaystyle p\text{'}}}{{\displaystyle 303 K}}\Rightarrow \boxed{\mathbf{p}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\mathbf{31}\mathbf{,}\mathbf{04}\mathbf{ }\mathbf{p}\mathbf{s}\mathbf{i}}$

Pneus traseiros: 

$\frac{p.\cancel{V}}{T}=\frac{p\text{'}.\cancel{V\text{'}}}{T\text{'}} \Rightarrow \frac{p}{T}=\frac{p\text{'}}{T\text{'}} \Rightarrow \frac{{\displaystyle 31 psi}}{{\displaystyle 283 K}}=\frac{{\displaystyle p\text{'}}}{{\displaystyle 303 K}}\Rightarrow \boxed{\mathbf{p}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\mathbf{33}\mathbf{,}\mathbf{19}\mathbf{ }\mathbf{p}\mathbf{s}\mathbf{i}}$

Assim, considerando as pressões recomendadas pelo fabricante para carga máxima (31 psi nos pneus dianteiros e 37 psi para os pneus traseiros), o motorista deveria calibrar somente os pneus de trás já que estes estão pressurizados a um valor inferior ao recomendado. 

a) Incorreta: A mistura em igual proporção entre álcool de limpeza (46° INPM) e álcool hidratado (92,6° INPM) fornece a seguinte concentração resultante (R1):

$R1 = 46 . 0,5 + 92,6 . 0,5 \to R1 = 69,3° \mathrm{INPM}$.

Conclusão: Uma mistura em maior proporção de álcool de limpeza deve implicar em uma concentração menor que 69,3° INPM, visto que o álcool de limpeza apresenta a menor concentração que o álcool de hidratado.

b) Incorreta: A mistura em igual proporção entre álcool combustível (92,5° INPM) e álcool absoluto (99,6° INPM) fornece a seguinte concentração resultante (R2):

$R2 = 92,5 . 0,5 + 99,6 . 0,5 \to R2 = 96,05° \mathrm{INPM}$.

Conclusão: Uma mistura em maior proporção de álcool combustível deve implicar em uma concentração menor que 96,05° INPM, mas nunca abaixo de 92,5° INPM (menor concentração), logo,  não é possível obter o álcool 70° INPM.

c) Incorreta: A mistura em igual proporção entre álcool absoluto (99,6° INPM) e álcool hidratado (92,6° INPM) fornece a seguinte concentração resultante (R3):

$R3 = 99,6 . 0,5 + 92,6 . 0,5 \to R3 = 96,1° \mathrm{INPM}$.

Conclusão: Uma mistura em maior proporção de álcool absoluto deve implicar em uma concentração maior que 96,1° INPM, visto que o álcool de absoluto apresenta a maior concentração que o álcool de hidratado.

d) Correta: A mistura em igual proporção entre álcool de limpeza (46° INPM) e álcool hidratado (92,6° INPM) fornece a seguinte concentração resultante (R4):

$R4 = 46 . 0,5 + 92,6 . 0,5 \to R4 = 69,3° \mathrm{INPM}$.

Conclusão: Uma mistura em maior proporção de álcool hidratdo deve obter o álcool 70° INPM.

Os gráficos apresentados relacionam a quantidade em massa de Carbono Orgânico Dissolvido (DOC) para cada grama de carbono da amostra. Podemos verificar dois comportamentos diferentes na curva dos gráficos apresentados sendo uma linear e as outras três com um crescimento de característica exponencial.

No gráfico que mostra a degradação do NPG, podemos observar que a massa de DOC produzida em um mesmo intervalo de tempo unidade de tempo é sempre a mesma o que gera o gráfico linear:

Portanto, para o NPG a velocidade de degradação não aumenta com o tempo de exposição.

Analisando a massa de DOC produzida em um mesmo intervalo de tempo podemos observar que há um aumento da quantidade conforme os dias passam, por exemplo:

Isso indica que a velocidade de degradação do plástico EPS, aumentou com o tempo de exposição. Analogamente ocorre para os plásticos PP e PE. Portanto, para três plásticos, a velocidade de degradação aumenta com o tempo de exposição.

Decorridos 50 dias de exposição, podemos verificar em cada gráfico qual foi a massa de DOC produzida acumuladamente:

Sendo assim, após 50 dias, a maior degradação foi do EPS que produziu 43 mg de DOC por grama de carbono do material.

A massa (m) de etanol presente em 1000 g de etanol combustível é igual a 940g 

$$\begin{gathered} Massas molares \left(M\right) de etanol e gás carbônico: \\ M\left(C_2{H}_{6}O\right) = 46 g/mol e M \left(C{O}_2\right) = 44 g/mol \end{gathered}$$

A massa (m') de gás carbônico (dióxido de carbono) obtida na combustão de 940 g de etanol será:

                                 $$\begin{gathered} C_2{H}_{6}O + 3O_2 \to 2 C{O}_2 + 3 H_{2}O \\ 940 g \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ m \\ 46 g \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 2 . 44 g \\ \boxed{m\left(C{O}_2\right) = 1798 g} \end{gathered}$$

A diferença entre as massas de gás carbônico (Δm) será igual a:

$$\begin{gathered} △m = m(C{O}_2{)}_{gasolina} - m(C{O}_2{)}_{etanol} \\ △m = (1962 - 1798)g= 164 g \end{gathered}$$

Pela equação da reação de combustão, a proporção entre etanol e gás oxigênio é de:                    $1 mol de C_2{H}_{6}O : 3 mol de O_2$

Seja $P$ a quantidade de páginas em questão.

Sendo $v_1$ a velocidade da impressora que imprime, sozinha, essas $P$ páginas em 90 segundos, temos que:

$v_1=\frac{P}{90}$

Analogamente, se a outra impressora imprime essas $P$ páginas, sozinha, em $T$ segundos, sua velocidade $v_2$ é dada por:

$v_2=\frac{P}{T}$

Quando elas estão funcionando juntas, a velocidade combinada do conjunto $v_C$ é a soma das velocidades de cada impressora, afinal, o número de páginas impressas num certo intervalo de tempo será a soma do número de páginas que cada uma delas imprimiu individualmente. Assim:

$v_C=v_1+v_2\iff \frac{P}{36}=\frac{P}{90}+\frac{P}{T}\iff \frac{P}{36}-\frac{P}{90}=\frac{P}{T}\iff$

$\frac{5P-2P}{180}=\frac{P}{T}\iff \frac{P}{60}=\frac{P}{T}$

Sendo $P\ne 0$, segue que:

$\boxed{T=60\text{ s}}$

Seja $q$ a razão da $PG\left(a,b,c\right)$. Como nenhum termo é nulo, então necessariamente $q\ne 0$. Temos que:

$\left\{\begin{array}{l}b=a·q\\ c=a·q^2\end{array}\right.$

Assim, o polinômio $p\left(x\right)=a+bx+c{x}^2$ pode ser reescrito como:

$p\left(x\right)=a+aqx+a{q}^2{x}^2\iff p\left(x\right)=a{q}^2{x}^2+aqx+a$

O discriminante da equação $p\left(x\right)=0$ é dado por:

$∆={\left(aq\right)}^2-4·a{q}^2·a=-3a^2{q}^2$

Sendo

$\left\{\begin{array}{l}a>0\Rightarrow a^2>0\\ q\ne 0\iff q^2>0\end{array}\right.$,

então $∆=-3a^2{q}^2<0$. Isso indica que não há raízes reais para esse polinômio, de modo que a parábola não pode intersectar o eixo das abscissas.

Devido a esse fato, a única alternativa possível é a alternativa (a).

Ao dividir um número inteiro positivo por 3, temos três possibilidades quanto ao resto. Ele pode ser igual a 0, 1 ou 2.

Denotando por $r_0,r_1$ e $r_2$ os números que deixam restos 0, 1 e 2, respectivamente, perceba que na sequência

 $\left(\underset{}{\underbrace{1,2,3}},\underset{}{\underbrace{4,5,6}}, ..., \underset{}{\underbrace{97,98,99}},100\right)$ 

os restos da divisão por 3 se comportam da seguinte forma

$\left(\underset{}{\underbrace{r_1,r_2,r_0}},\underset{}{\underbrace{r_1,r_2,r_0}}, ... , \underset{}{\underbrace{r_1,r_2,r_0}},r_1\right)$ .

Ou seja, a cada três números, temos um que deixa resto 1 ao ser dividido por 3, além do último número, o 100, que também deixa resto 1.

Portanto são $\frac{99}{3}+1=34$ números que deixam resto 1 de um total de $100$ números. Desta forma a probabilidade $p$ desejada é dada por:

$p=\frac{34}{100}=\boxed{\frac{17}{50}}$

Fazendo inicialmente o mmc para numerador e denominador, vem que:

$\frac{{\displaystyle \frac{\cos \theta +\mathrm{sen}\theta }{\mathrm{sen}\theta }+\frac{\cos {\displaystyle \theta }{\displaystyle -}{\displaystyle \mathrm{sen}}{\displaystyle \theta }}{\cos {\displaystyle \theta }}}}{{\displaystyle \frac{\cos \theta +\mathrm{sen}\theta }{\cos \theta }+\frac{\cos {\displaystyle \theta }{\displaystyle -}{\displaystyle \mathrm{sen}}{\displaystyle \theta }}{\mathrm{sen}{\displaystyle \theta }}}}=\frac{{\displaystyle \frac{\left(\cos {\displaystyle \theta }{\displaystyle +}{\displaystyle \mathrm{sen}}{\displaystyle \theta }\right){\displaystyle ·}{\displaystyle \cos }{\displaystyle \theta }{\displaystyle +}{\displaystyle \left(\cos \theta -\mathrm{sen}\theta \right)}{\displaystyle ·}{\displaystyle \mathrm{sen}}{\displaystyle \theta }}{\mathrm{sen}{\displaystyle \theta }{\displaystyle ·}{\displaystyle \cos }{\displaystyle \theta }}}}{{\displaystyle \frac{\left(\cos {\displaystyle \theta }{\displaystyle +}{\displaystyle \mathrm{sen}}{\displaystyle \theta }\right){\displaystyle ·}{\displaystyle \mathrm{sen}}{\displaystyle \theta }{\displaystyle +}{\displaystyle \left(\cos \theta -\mathrm{sen}\theta \right)}{\displaystyle ·}{\displaystyle \cos }{\displaystyle \theta }}{\cos {\displaystyle \theta }·\mathrm{sen}{\displaystyle \theta }}}}=$

$\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2{\displaystyle \theta }{\displaystyle +}{\displaystyle \mathrm{sen}}{\displaystyle \theta }{\displaystyle ·}{\displaystyle \cos }{\displaystyle \theta }{\displaystyle +}\cos \theta ·\mathrm{sen}\theta -{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2}{\displaystyle \theta }}{\sout{\mathrm{sen}{\displaystyle \theta }{\displaystyle ·}{\displaystyle \cos }{\displaystyle \theta }}}}}{{\displaystyle \frac{\cancel{\cos {\displaystyle \theta }·\mathrm{sen}{\displaystyle \theta }}+{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2}{\displaystyle \theta }{\displaystyle +}{\cos }^2\theta \cancel{-\mathrm{sen}\theta ·\cos \theta }}{\sout{\mathrm{sen}{\displaystyle \theta }·\cos {\displaystyle \theta }}}}}=\frac{{\cos }^2\theta -{\mathrm{sen}}^2\theta +2·\mathrm{sen}\theta ·\cos \theta }{{\mathrm{sen}}^2\theta +{\cos }^2\theta }$

Agora, lembremos a relação fundamental da Trigonometria, e as relações de arco duplo:

• Relação fundamental da Trigonometria: ${\mathrm{sen}}^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
• $\cos \left(2\theta \right)={\cos }^2\theta -{\mathrm{sen}}^2\theta$
• $\mathrm{sen}\left(2\theta \right)=2·\mathrm{sen}\theta ·\cos \theta$

Substituindo, a expressão dada se reduz a:

$\frac{co{s}^2\theta -se{n}^2\theta +2·sen\theta ·cos\theta }{se{n}^2\theta +co{s}^2\theta }=\frac{cos\left(2\theta \right)+sen\left(2\theta \right)}{1}=\boxed{\cos \left(2\theta \right)+\mathrm{sen}\left(2\theta \right)}$