Questão 39 Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 39

Probabilidade Divisibilidade

Um número natural é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 100, e depois dividido por 3. A probabilidade de que o resto da divisão seja igual a 1 é de

a)	$\frac{31}{100}$ .
b)	$\frac{33}{100}$ .
c)	$\frac{17}{50}$ .
d)	$\frac{19}{50}$ .

Resolução

Ao dividir um número inteiro positivo por 3, temos três possibilidades quanto ao resto. Ele pode ser igual a 0, 1 ou 2.

Denotando por $r_{0}, r_{1}$ e $r_{2}$ os números que deixam restos 0, 1 e 2, respectivamente, perceba que na sequência

$(\underset{}{\underset{⏟}{1, 2, 3}}, \underset{}{\underset{⏟}{4, 5, 6}}, . . ., \underset{}{\underset{⏟}{97, 98, 99}}, 100)$

os restos da divisão por 3 se comportam da seguinte forma

$(\underset{}{\underset{⏟}{r_{1}, r_{2}, r_{0}}}, \underset{}{\underset{⏟}{r_{1}, r_{2}, r_{0}}}, . . ., \underset{}{\underset{⏟}{r_{1}, r_{2}, r_{0}}}, r_{1})$ .

Ou seja, a cada três números, temos um que deixa resto 1 ao ser dividido por 3, além do último número, o 100, que também deixa resto 1.

Portanto são $\frac{99}{3} + 1 = 34$ números que deixam resto 1 de um total de $100$ números. Desta forma a probabilidade $p$ desejada é dada por:

$p = \frac{34}{100} = \frac{17}{50}$