Questão 38 Unicamp 2021 - 1ª fase - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 38

Função Quadrática Progressão Geométrica

Sejam 𝑎,𝑏,𝑐 termos consecutivos de uma progressão geométrica sem nenhum termo nulo e $p (x)$ o polinômio de grau 2 dado por $p (x) = a + b x + c x^{2}$ . Se 𝑎 é positivo, qual das figuras abaixo pode representar corretamente o gráfico de $p (x)$ ?

a)
b)
c)
d)

Resolução

Seja $q$ a razão da $P G (a, b, c)$ . Como nenhum termo é nulo, então necessariamente $q \neq 0$ . Temos que:

$\{\begin{cases} b = a \cdot q \\ c = a \cdot q^{2} \end{cases}$

Assim, o polinômio $p (x) = a + b x + c x^{2}$ pode ser reescrito como:

$p (x) = a + a q x + a q^{2} x^{2} \Leftrightarrow p (x) = a q^{2} x^{2} + a q x + a$

O discriminante da equação $p (x) = 0$ é dado por:

$∆ = {(a q)}^{2} - 4 \cdot a q^{2} \cdot a = - 3 a^{2} q^{2}$

Sendo

$\{\begin{cases} a > 0 \Rightarrow a^{2} > 0 \\ q \neq 0 \Leftrightarrow q^{2} > 0 \end{cases}$ ,

então $∆ = - 3 a^{2} q^{2} < 0$ . Isso indica que não há raízes reais para esse polinômio, de modo que a parábola não pode intersectar o eixo das abscissas.

Devido a esse fato, a única alternativa possível é a alternativa (a).