Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2

Questão 1 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Média Aritmética Sistemas Lineares

Durante a pandemia de Covid-19, a imprensa tem utilizado a “média móvel” para divulgar a evolução do número de casos notificados da doença. Para calcular a média móvel do dia 𝑑com respeito aos últimos 𝑘 dias, somamos o número de casos do dia 𝑑 com o número de casos registrados nos 𝑘 −1 dias anteriores e dividimos por 𝑘. Na tabela abaixo, indicamos, para uma dada cidade, a quantidade de casos notificado sem cada dia de um determinado mês, e também a média móvel de cada dia com respeito aos últimos 4 dias. Alguns dados foram perdidos, e não constam na tabela.

Analisando a tabela, calcule

a) a média móvel do dia 18;

b) a quantidade de casos notificados nos dias 8, 10 e 11.

Resolução

a) O enunciado nos diz que, para calcular a média móvel do dia 18 (com respeito aos últimos 4 dias), devemos somar o número de casos dos dias 15, 16, 17 e 18 e depois dividí-lo por 4:

$\frac{30 + 28 + 28 + 26}{4} = 28$

Logo, a média móvel do dia 18 é 28.

b) Sejam $x$ , $y$ e $z$ o número de casos notificados nos dias 8, 10 e 11, respectivamente.

Note que os valores de média móvel conhecidos, envolvendo estes dias, são os valores de média móvel dos dias

10: cuja média começa a ser contabilizada no dia 7 e é dada por

$\frac{22 + x + 32 + y}{4} = 28$

11: cuja média começa a ser contabilizada no dia 8 e é dada por

$\frac{x + 32 + y + z}{4} = 31$

12: cuja média começa a ser contabilizada no dia 9 e é dada por

$\frac{32 + y + z + 28}{4} = 32$

Desta maneira, podemos construir o seguinte sistema linear:

$\{\begin{matrix} \frac{22 + x + 32 + y}{4} = 28 \\ \frac{x + 32 + y + z}{4} = 31 \\ \frac{32 + y + z + 28}{4} = 32 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + y = 58 \\ x + y + z = 92 \\ y + z = 68 \end{matrix}$

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos

$z = 92 - 58 = 34$ ,

Substiruindo na terceira, temos:

$y + 34 = 68 \Leftrightarrow y = 34$

Substituindo na primeira, temos:

$x + 34 = 58 \Leftrightarrow x = 24$

Ou seja, quantidade de casos nos dias 8, 10 e 11 são, respectivamente: $24$ , $34$ e $34$ .

Questão 2 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Probabilidade

Uma escola com 960 alunos decidiu renovar seu mobiliário. Para decidir quantas cadeiras de canhotos será necessário comprar, fez-se um levantamento do número de alunos canhotos em cada turma. A tabela abaixo indica, na segunda linha, o número de turmas com o total de canhotos indicado na primeira linha.

a) Qual a probabilidade de que uma turma escolhida ao acaso tenha pelo menos 3 alunos canhotos?

b) Qual a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso na escola seja canhoto?

Resolução

a) Tomemos o evento A sendo: Escolher uma turma com pelo menos 3 canhotos. Então, a probabilidade do evento A acontecer é dada por:

$p (A) = \frac{nº de turmas com pelo menos 3 canhotos}{total de turmas}$

Podemos observar que nosso espaço amostral (total de turmas) é dado por:

$total de turmas = 1 + 2 + 5 + 12 + 8 + 2 = 30$

E o número de elementos do evento A (eventos favoráveis) é dado por:

$n (A) = 12 + 8 + 2 = 22$

Assim, a probabilidade de sortear uma turma com pelo menos 3 canhotos é:

$p (A) = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$

b) Tomemos agora o evento B sendo: Escolher um aluno canhoto. Assim, a probabilidade deste evento acontecer é:

$p (B) = \frac{nº de alunos canhotos}{total de alunos}$

O número total de alunos da escola (espaço amostral) é dado no enunciado e é igual a:

$total de alunos = 960$

Já, o número de alunos canhotos é:

$n (B) = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 12 \cdot 3 + 8 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 90$

Logo, a probabilidade de escolher um aluno canhoto dentre todos os alunos da escola é:

$p (B) = \frac{90}{960} = \frac{3}{32}$

Questão 3 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Matriz Inversa Arco Duplo

Considere um número real $t \in [0, 2 π)$ e defina a matriz

$H = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} \cos^{2} (t) & \cos (t) sen (t) \\ \cos (t) sen (t) & {sen}^{2} (t) \end{matrix})$

a) Mostre que a matriz 𝐻 é invertível.

b) Determine valores de 𝑡 tais que $H \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) .$

Resolução

a) A condição para que uma matriz seja invertível é que seu determinante seja não nulo. Assim, reescrevendo a matriz H, temos:

$H = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - 2 \cdot (\begin{matrix} \cos^{2} (t) & \cos (t) \cdot sen (t) \\ \cos (t) \cdot sen (t) & {sen}^{2} (t) \end{matrix}) \Rightarrow$

$H = (\begin{matrix} 1 - 2 \cos^{2} (t) & - 2 \cos (t) \cdot sen (t) \\ - 2 \cos (t) \cdot sen (t) & 1 - 2 {sen}^{2} (t) \end{matrix})$

Observe que, utilizando as relações de arco duplo e a relação fundamental da trigonometria, temos as três relações a seguir:

$1) \cos (2 t) = \cos^{2} (t) - {sen}^{2} (t) = (1 - {sen}^{2} (t)) - {sen}^{2} (t) = 1 - 2 {sen}^{2} (t)$

$2) \cos (2 t) = \cos^{2} (t) - {sen}^{2} (t) = \cos^{2} (t) - (1 - \cos^{2} (t)) = 2 \cos^{2} (t) - 1$

$3) sen (2 t) = 2 sen (t) \cdot \cos (t)$

Substituindo as três relações acima na matriz H, temos:

$H = (\begin{matrix} 1 - 2 \cos^{2} (t) & - 2 \cos (t) \cdot sen (t) \\ - 2 \cos (t) \cdot sen (t) & 1 - 2 {sen}^{2} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \cos (2 t) & - sen (2 t) \\ - sen (2 t) & \cos (2 t) \end{matrix})$

Deste modo, calculando o determinante da matriz H, temos:

$d e t (H) = |\begin{matrix} - \cos (2 t) & - sen (2 t) \\ - sen (2 t) & \cos (2 t) \end{matrix}| \Leftrightarrow d e t (H) = - \cos^{2} (2 t) - {sen}^{2} (2 t) \Leftrightarrow$

$d e t (H) = - (\cos^{2} (2 t) + {sen}^{2} (2 t)) = - 1$

Portanto, como o determinante da matriz H é não nulo, então a matriz H é invertível.

b) Reescrevendo a equação matricial, temos:

$(\begin{matrix} - \cos (2 t) & - sen (2 t) \\ - sen (2 t) & \cos (2 t) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) \Rightarrow$

$\{\begin{cases} - 3 \cos (2 t) - 2 sen (2 t) = 2 \\ - 3 sen (2 t) + 2 \cos (2 t) = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 \cos (2 t) - 2 sen (2 t) = 2 \\ 2 \cos (2 t) - 3 sen (2 t) = 3 \end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3, temos:

$\{\begin{cases} - 3 \cos (2 t) - 2 sen (2 t) = 2 (\times 2) \\ 2 \cos (2 t) - 3 sen (2 t) = 3 (\times 3) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 6 \cos (2 t) - 4 sen (2 t) = 4 \\ 6 \cos (2 t) - 9 sen (2 t) = 9 \end{cases}$

Somando as duas equações, temos:

$+ \{\begin{cases} - 6 \cos (2 t) - 4 sen (2 t) = 4 \\ 6 \cos (2 t) - 9 sen (2 t) = 9 \end{cases} \Leftrightarrow - 13 sen (2 t) = 13 \Leftrightarrow sen (2 t) = - 1$

Substituindo, na segunda equação:

$2 \cos (2 t) - 3 \cdot (- 1) = 3 \Leftrightarrow 2 \cos (2 t) = 0 \Leftrightarrow \cos (2 t) = 0$

Deste modo, buscamos os arcos tais que:

$\{\begin{cases} sen (2 t) = - 1 \\ \cos (2 t) = 0 \end{cases} \Rightarrow 2 t = \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot k \Rightarrow t = \frac{3 π}{4} + π \cdot k, k \in ℤ$

Como $t \in [0, 2 π)$ , então os valores de k que satisfazem a restrição são:

$k = 0 \Rightarrow t = \frac{3 π}{4} k = 1 \Rightarrow t = \frac{7 π}{4}$

Questão 4 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Área de polígonos Progressão Aritmética

Sejam 𝑎,𝑏 números reais positivos. Considere a sequência de polígonos $P_{1}, P_{2}, . . ., P_{n}, . . .$ construídos da seguinte forma:

$P_{1}$ é um retângulo de lados 𝑎 e 𝑏, como mostra a figura 1;
$P_{2}$ é obtido de $P_{1}$ , retirando dele um retângulo de lados medindo 𝑎/2 e 𝑏/2, como mostra a figura 2;
$P_{3}$ é obtido de $P_{1}$ , retirando dele 3 retângulos de lados medindo 𝑎/3 e 𝑏/3, como mostra a figura 3;
$P_{4}$ é obtido de $P_{1}$ , retirando dele 6 retângulos de lados medindo 𝑎/4 e 𝑏/4, como mostra afigura 4;
E assim, sucessivamente, $P_{n}$ é obtido de $P_{1}$ , como mostra a figura 5.

a) Determine o perímetro e o número de lados de $P_{2021}$ .

b) Seja $A_{n}$ a área do polígono $P_{n}$ , e seja 𝐴 a área do triângulo retângulo de catetos com medidas 𝑎 e 𝑏. Encontre a razão $R_{n} = \frac{A_{n}}{A}$ , para 𝑛 arbitrário.

Resolução

a) Note que o polígono $P_{n}$ , para qualquer $n$ , possui na sua lateral direita $n$ segmentos verticais de comprimento $\frac{a}{n}$ . De maneira análoga, ele possui em sua borda $n$ segmentos horizontais de comprimento $\frac{b}{n}$ .

Assim, sua borda é composta de $n + 1$ segmentos horizontais e $n + 1$ segmentos verticais, totalizando $2 n + 2$ lados.

Logo, o número de lados de $P_{2021}$ é

$2 \cdot 2021 + 2 = 4044$

Além disso, o perímetro de $P_{n}$ é, então, dado por

$a + b + n \cdot \frac{a}{n} + n \cdot \frac{b}{n} = 2 a + 2 b$

daí que o perímetro de $P_{2021}$ é

$2 a + 2 b$

b) Note, na figura a seguir, que o polígono $P_{n}$ pode ser decomposto em um triângulo retângulo de catetos $a$ e $b$ (vermelho, de área $A = \frac{a b}{2}$ ) e $n$ pequenos triângulos retângulos de catetos $\frac{a}{n}$ e $\frac{b}{n}$ (pequenos triângulos acima da hipotenusa vermelha):

Desta forma, a área do polígono $P_{n}$ é dada por

$A_{n} = \frac{a b}{2} + n \cdot \frac{\frac{a}{n} \cdot \frac{b}{n}}{2} = \frac{a b}{2} + \frac{a b}{2 n}$

Logo, a razão $R_{n} = \frac{A_{n}}{A}$ é

$R_{n} = \frac{\frac{a b}{2} + \frac{a b}{2 n}}{\frac{a b}{2}} = 1 + \frac{1}{n}$

OBS: O aluno poderia notar que a $n$ -ésima figura é formada por $n$ fileiras de retângulos de lados $\frac{a}{n}$ e $\frac{b}{n}$ , de maneira que a primeira fileira tenha um desses retângulos, a segunda tenha dois, a terceira tenha 3 e assim por diante.

Ou seja, o número de retângulos em cada fileira forma uma progressão aritmética de $n$ termos, com razão $r = 1$ , primeiro termo $a_{1} = 1$ e $a_{n} = n$ . Desta forma, o número total de retângulos que compõem a figura é dado pela soma dessa progressão aritmética.

Lembrando que a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$

temos que o polígono $P_{n}$ é formado por

$S_{n} = \frac{(1 + n) \cdot n}{2}$

retângulos de área $\frac{a}{n} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a b}{n^{2}}$ tendo, então uma área

$A_{n} = \frac{(1 + n) \cdot n}{2} \cdot \frac{a b}{n^{2}}$

Ora, a área $A$ do triângulo retângulo de catetos $a$ e $b$ é

$A = \frac{a b}{2}$

Logo,

$R_{n} = \frac{A_{n}}{A} = \frac{\frac{(1 + n) \cdot n}{2} \cdot \frac{a b}{n^{2}}}{\frac{a b}{2}} = \frac{1 + n}{n} = \frac{1}{n} + 1$

Questão 5 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Geometria Analítica Área de polígonos

Em 2019, diversas praias brasileiras foram atingidas por manchas de óleo. Pesquisadores concentraram esforços na tentativa de localizar o ponto provável da emissão do óleo. Na figura abaixo, a origem do plano cartesiano está localizada no Distrito Federal e cada unidade equivale a 1.000 km.

a) Numa primeira investigação sobre a origem do óleo, um navio fez uma sondagem numa área poligonal de 63.000.000 km², com vértices 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 e 𝐸,conforme indica a figura acima. Calcule o valor da ordenada ℎ do ponto $E = (19, h)$ .

b) Após a investigação dos resíduos encontrados nas praias indicadas pelos pontos 𝐹 e 𝐺, descobriu-se que a fonte provável do óleo encontrava-se no Oceano Atlântico, a uma distância de 12.000 km do ponto 𝐹 e 18.000 km do ponto 𝐺. Encontre as coordenadas (𝑥,𝑦) da provável fonte do óleo.

Resolução

a) Observe que um quadrado de lado unitário no plano cartesiano corresponde, na realidade, a um quadrado de lado $1.000 k m$ . Logo, sua área, que no plano é de uma unidade de área, corresponde a um quadrado de área $1.000.000 k m^{2}$ . Desta forma, o polígono deve ter área $63 u.a.$ .

Para calcular a área do pentágono $A B C D E$ , podemos dividí-lo em um triângulo $A B E$ e um trapézio $B C D E$ e calcular a área de cada uma dessas partes.

O triângulo $A B E$ , quando visto com base $B E$ de medida $h - 5$ , tem altura $19 - 16 = 3$ . Daí que sua área é dada por

$A_{A B E} = \frac{(h - 5) \cdot 3}{2}$

O trapézio $B C D E$ tem bases $B E$ , de medida $h - 5$ e $C D$ de medida $6$ com altura igual a $24 - 19 = 5$ . Portanto, sua área é dada por

$A_{B C D E} = \frac{(h - 5 + 6) \cdot 5}{2} = \frac{(h + 1) \cdot 5}{2}$

Igualando a soma dessas áreas à área do polígono, temos:

$\frac{(h - 5) \cdot 3}{2} + \frac{(h + 1) \cdot 5}{2} = 63 \Rightarrow 4 h + 5 = 63 \Rightarrow 4 h = 58 \Rightarrow h = 17$

b) Seja $X (x, y)$ o ponto que representa a fonte do óleo.

Note que os pontos $F$ e $G$ são dados por $F (8, 14)$ e $G (8, - 4)$ e que, como as distâncias entre estes pontos ao ponto $X$ são, respectivamente, $12.000 k m$ e $18.000 k m$ , respeitada a escala, estes valores representam 12 e 18 unidades, respectivamente.

Lembrando que a distância $d_{A B}$ entre dois pontos $A (x_{A}, y_{A})$ e $B (x_{B}, y_{B})$ é dada por

$d_{A B} = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}$

temos que:

$12 = d_{F X} = \sqrt{{(x - 8)}^{2} + {(y - 14)}^{2}}$

$18 = d_{G X} = \sqrt{{(x - 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2}}$

o que nos fornece o seguinte sistema:

$\{\begin{cases} 12^{2} = {(x - 8)}^{2} + {(y - 14)}^{2} \\ 18^{2} = {(x - 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2} \end{cases}$

Subtraindo as duas equações, obtemos que

${(y - 14)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 180 \Rightarrow y^{2} - 28 y + 196 - y^{2} - 8 y - 16 = - 180 \Rightarrow$

$- 36 y = - 360 \Rightarrow y = 10$

Substituindo em uma das equações,

$12^{2} = {(x - 8)}^{2} + {(10 - 14)}^{2} \Leftrightarrow 144 = x^{2} - 16 x + 64 + 16 \Leftrightarrow x^{2} - 16 x - 64 = 0 \Leftrightarrow$

$x = \frac{16 \pm \sqrt{512}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{16 \pm 16 \sqrt{2}}{2} = 8 \pm 8 \sqrt{2} = 8 \cdot (1 \pm \sqrt{2})$

No entanto, como a fonte se encontra no Oceano Atlântico temos, pela figura do enunciado, que a coordenada $x$ desse ponto deve ser positiva, descartando a possibilidade $x = 8 (1 - \sqrt{2})$ .

Portanto, as coordenadas da fonte do óleo são:

$(8 \cdot (1 + \sqrt{2}), 10)$

Questão 6 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Polinômio Função Afim Derivada Tangentes e Normais a uma Curva

Seja $f (x) = x^{3} - 2 x + 1$ uma função polinomial real. A reta tangente ao gráfico de $y = f (x)$ no ponto $(a, f (a))$ é definida pela equação $y = m x + f (a) - m a$ , onde $m = 3 a^{2} - 2$ .

a) Encontre os pontos do gráfico de $y = f (x)$ cuja reta tangente é paralela à reta definida por $x - y = 0$ .

b) Sabendo que $a > 0$ e que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $y = f (x)$ no ponto $(a, f (a))$ é 10, determine os pontos de interseção da reta tangente com o gráfico de $y = f (x)$ .

Resolução

a) Seja $r$ a reta $x - y = 0$ , então

$r : y = x$

Note que o coeficiente angular da reta $r$ é dado por:

$m_{r} = 1$

Assim, como buscamos retas paralelas a $r$ , então buscamos retas cujo coeficiente angular também seja igual a 1. Como dito no enunciado, as retas tangentes ao gráfico são escritas pela forma:

$y = m x + f (a) - m a$

Podemos observar que o coeficiente angular desta reta é igual a $m$ . Logo, como ela deve ser paralela a $r$ , temos:

$m = m_{r} = 1$

Deste modo, substituindo o valor de $m$ encontrado na equação dada no enunciado, temos:

$m = 3 a^{2} - 2 \Leftrightarrow 1 = 3 a^{2} - 2 \Leftrightarrow 3 a^{2} = 3 \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$

Portanto, para $a = 1$ ,

$f (1) = 1^{3} - 2 \cdot 1 + 1 = 0$

E o ponto $(a, f (a))$ é igual a $(1, 0)$ .

Para $a = - 1$

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 2 \cdot (- 1) + 1 = 2$

E o ponto $(a, f (a))$ é igual a $(- 1, 2)$ .

Logo, os pontos do gráfico de $f$ que possuem tangentes paralelas à reta $x - y = 0$ são $(1, 0)$ e $(- 1, 2)$ .

OBS: O candidato que se sentisse confortável em utilizar os conceitos de cálculo diferencial poderia resolver este problema lembrando que o coeficiente angular da reta tangente a um gráfico em um determinado ponto é dado pela derivada da função naquele ponto (fato esse confirmado pela equação dada no enunciado $m = 3 a^{2} - 2$ ). Assim, como buscamos as retas tangentes de coeficiente angular igual a 1, teríamos:

$f' (x) = 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 2 = 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Logo,

$f (1) = 1^{3} - 2 \cdot 1 + 1 = 0$

E o ponto $(a, f (a))$ é igual a $(1, 0)$ .

Analogamente,

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 2 \cdot (- 1) + 1 = 2$

E o ponto $(a, f (a))$ é igual a $(- 1, 2)$ .

b) Dado que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico é igual a 10, então temos que:

$m = 10$

Substituindo, temos:

$10 = 3 a^{2} - 2 \Leftrightarrow 3 a^{2} = 12 \Leftrightarrow a^{2} = 4 \Leftrightarrow a = \pm 2$

Como $a > 0$ , então $a = 2$ . E calculando $f (2)$ , temos:

$f (2) = 2^{3} - 2 \cdot 2 + 1 = 5$

Assim, um dos pontos de intersecção é o ponto $(2, 5)$ .

A reta tangente terá equação

$y = 10 x + f (2) - 10 \cdot 2 \Leftrightarrow y = 10 x + 5 - 20 \Leftrightarrow y = 10 x - 15$

Igualando à $f$ temos:

$x^{3} - 2 x + 1 = 10 x - 15 \Leftrightarrow x^{3} - 12 x + 16 = 0$

Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, pois sabemos que 2 é uma das raízes da equação, temos

2	1	0	–12	16
	1	2	–8	0

Portanto,

$x^{3} - 12 x + 16 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) \cdot (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Logo,

$x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 ou x^{2} + 2 x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 ou x = - 4$

Assim, os pontos de intersecção são:

$(2, f (2)) = (2, 5)$ e $(- 4, f (- 4))$

Calculando $f (- 4)$ ,

$f (- 4) = {(- 4)}^{3} - 2 \cdot (- 4) + 1 = - 64 + 8 + 1 = - 55$

Portanto, $(- 4, f (- 4)) = (- 4, - 55)$ .

Deste modo, os pontos de intersecção são $(2, 5)$ e $(- 4, - 55)$ .

OBS: Ao chegar na equação

$x^{3} - 2 x + 1 = 10 x - 15 \Leftrightarrow x^{3} - 12 x + 16 = 0$

poderíamos fatorá-la ao invés de utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Teríamos,

$x^{3} - 12 x + 16 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 4 x - 8 x + 16 = 0 \Leftrightarrow x \cdot (x^{2} - 4) - 8 \cdot (x - 2) = 0 \Leftrightarrow$

$x \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) - 8 \cdot (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) \cdot (x \cdot (x + 2) - 8) = 0 \Leftrightarrow$

$(x - 2) \cdot (x^{2} + 2 x - 8) = 0$