Questão 3 Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Matriz Inversa Arco Duplo

Considere um número real $t \in [0, 2 π)$ e defina a matriz

$H = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} \cos^{2} (t) & \cos (t) sen (t) \\ \cos (t) sen (t) & {sen}^{2} (t) \end{matrix})$

a) Mostre que a matriz 𝐻 é invertível.

b) Determine valores de 𝑡 tais que $H \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) .$

Resolução

a) A condição para que uma matriz seja invertível é que seu determinante seja não nulo. Assim, reescrevendo a matriz H, temos:

$H = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - 2 \cdot (\begin{matrix} \cos^{2} (t) & \cos (t) \cdot sen (t) \\ \cos (t) \cdot sen (t) & {sen}^{2} (t) \end{matrix}) \Rightarrow$

$H = (\begin{matrix} 1 - 2 \cos^{2} (t) & - 2 \cos (t) \cdot sen (t) \\ - 2 \cos (t) \cdot sen (t) & 1 - 2 {sen}^{2} (t) \end{matrix})$

Observe que, utilizando as relações de arco duplo e a relação fundamental da trigonometria, temos as três relações a seguir:

$1) \cos (2 t) = \cos^{2} (t) - {sen}^{2} (t) = (1 - {sen}^{2} (t)) - {sen}^{2} (t) = 1 - 2 {sen}^{2} (t)$

$2) \cos (2 t) = \cos^{2} (t) - {sen}^{2} (t) = \cos^{2} (t) - (1 - \cos^{2} (t)) = 2 \cos^{2} (t) - 1$

$3) sen (2 t) = 2 sen (t) \cdot \cos (t)$

Substituindo as três relações acima na matriz H, temos:

$H = (\begin{matrix} 1 - 2 \cos^{2} (t) & - 2 \cos (t) \cdot sen (t) \\ - 2 \cos (t) \cdot sen (t) & 1 - 2 {sen}^{2} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \cos (2 t) & - sen (2 t) \\ - sen (2 t) & \cos (2 t) \end{matrix})$

Deste modo, calculando o determinante da matriz H, temos:

$d e t (H) = |\begin{matrix} - \cos (2 t) & - sen (2 t) \\ - sen (2 t) & \cos (2 t) \end{matrix}| \Leftrightarrow d e t (H) = - \cos^{2} (2 t) - {sen}^{2} (2 t) \Leftrightarrow$

$d e t (H) = - (\cos^{2} (2 t) + {sen}^{2} (2 t)) = - 1$

Portanto, como o determinante da matriz H é não nulo, então a matriz H é invertível.

b) Reescrevendo a equação matricial, temos:

$(\begin{matrix} - \cos (2 t) & - sen (2 t) \\ - sen (2 t) & \cos (2 t) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) \Rightarrow$

$\{\begin{cases} - 3 \cos (2 t) - 2 sen (2 t) = 2 \\ - 3 sen (2 t) + 2 \cos (2 t) = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 \cos (2 t) - 2 sen (2 t) = 2 \\ 2 \cos (2 t) - 3 sen (2 t) = 3 \end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3, temos:

$\{\begin{cases} - 3 \cos (2 t) - 2 sen (2 t) = 2 (\times 2) \\ 2 \cos (2 t) - 3 sen (2 t) = 3 (\times 3) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 6 \cos (2 t) - 4 sen (2 t) = 4 \\ 6 \cos (2 t) - 9 sen (2 t) = 9 \end{cases}$

Somando as duas equações, temos:

$+ \{\begin{cases} - 6 \cos (2 t) - 4 sen (2 t) = 4 \\ 6 \cos (2 t) - 9 sen (2 t) = 9 \end{cases} \Leftrightarrow - 13 sen (2 t) = 13 \Leftrightarrow sen (2 t) = - 1$

Substituindo, na segunda equação:

$2 \cos (2 t) - 3 \cdot (- 1) = 3 \Leftrightarrow 2 \cos (2 t) = 0 \Leftrightarrow \cos (2 t) = 0$

Deste modo, buscamos os arcos tais que:

$\{\begin{cases} sen (2 t) = - 1 \\ \cos (2 t) = 0 \end{cases} \Rightarrow 2 t = \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot k \Rightarrow t = \frac{3 π}{4} + π \cdot k, k \in ℤ$

Como $t \in [0, 2 π)$ , então os valores de k que satisfazem a restrição são:

$k = 0 \Rightarrow t = \frac{3 π}{4} k = 1 \Rightarrow t = \frac{7 π}{4}$