Questão 1 Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Média Aritmética Sistemas Lineares

Durante a pandemia de Covid-19, a imprensa tem utilizado a “média móvel” para divulgar a evolução do número de casos notificados da doença. Para calcular a média móvel do dia 𝑑com respeito aos últimos 𝑘 dias, somamos o número de casos do dia 𝑑 com o número de casos registrados nos 𝑘 −1 dias anteriores e dividimos por 𝑘. Na tabela abaixo, indicamos, para uma dada cidade, a quantidade de casos notificado sem cada dia de um determinado mês, e também a média móvel de cada dia com respeito aos últimos 4 dias. Alguns dados foram perdidos, e não constam na tabela.

Analisando a tabela, calcule

a) a média móvel do dia 18;

b) a quantidade de casos notificados nos dias 8, 10 e 11.

Resolução

a) O enunciado nos diz que, para calcular a média móvel do dia 18 (com respeito aos últimos 4 dias), devemos somar o número de casos dos dias 15, 16, 17 e 18 e depois dividí-lo por 4:

$\frac{30 + 28 + 28 + 26}{4} = 28$

Logo, a média móvel do dia 18 é 28.

b) Sejam $x$ , $y$ e $z$ o número de casos notificados nos dias 8, 10 e 11, respectivamente.

Note que os valores de média móvel conhecidos, envolvendo estes dias, são os valores de média móvel dos dias

10: cuja média começa a ser contabilizada no dia 7 e é dada por

$\frac{22 + x + 32 + y}{4} = 28$

11: cuja média começa a ser contabilizada no dia 8 e é dada por

$\frac{x + 32 + y + z}{4} = 31$

12: cuja média começa a ser contabilizada no dia 9 e é dada por

$\frac{32 + y + z + 28}{4} = 32$

Desta maneira, podemos construir o seguinte sistema linear:

$\{\begin{matrix} \frac{22 + x + 32 + y}{4} = 28 \\ \frac{x + 32 + y + z}{4} = 31 \\ \frac{32 + y + z + 28}{4} = 32 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + y = 58 \\ x + y + z = 92 \\ y + z = 68 \end{matrix}$

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos

$z = 92 - 58 = 34$ ,

Substiruindo na terceira, temos:

$y + 34 = 68 \Leftrightarrow y = 34$

Substituindo na primeira, temos:

$x + 34 = 58 \Leftrightarrow x = 24$

Ou seja, quantidade de casos nos dias 8, 10 e 11 são, respectivamente: $24$ , $34$ e $34$ .