Questão 6 Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Polinômio Função Afim Derivada Tangentes e Normais a uma Curva

Seja $f (x) = x^{3} - 2 x + 1$ uma função polinomial real. A reta tangente ao gráfico de $y = f (x)$ no ponto $(a, f (a))$ é definida pela equação $y = m x + f (a) - m a$ , onde $m = 3 a^{2} - 2$ .

a) Encontre os pontos do gráfico de $y = f (x)$ cuja reta tangente é paralela à reta definida por $x - y = 0$ .

b) Sabendo que $a > 0$ e que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $y = f (x)$ no ponto $(a, f (a))$ é 10, determine os pontos de interseção da reta tangente com o gráfico de $y = f (x)$ .

Resolução

a) Seja $r$ a reta $x - y = 0$ , então

$r : y = x$

Note que o coeficiente angular da reta $r$ é dado por:

$m_{r} = 1$

Assim, como buscamos retas paralelas a $r$ , então buscamos retas cujo coeficiente angular também seja igual a 1. Como dito no enunciado, as retas tangentes ao gráfico são escritas pela forma:

$y = m x + f (a) - m a$

Podemos observar que o coeficiente angular desta reta é igual a $m$ . Logo, como ela deve ser paralela a $r$ , temos:

$m = m_{r} = 1$

Deste modo, substituindo o valor de $m$ encontrado na equação dada no enunciado, temos:

$m = 3 a^{2} - 2 \Leftrightarrow 1 = 3 a^{2} - 2 \Leftrightarrow 3 a^{2} = 3 \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$

Portanto, para $a = 1$ ,

$f (1) = 1^{3} - 2 \cdot 1 + 1 = 0$

E o ponto $(a, f (a))$ é igual a $(1, 0)$ .

Para $a = - 1$

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 2 \cdot (- 1) + 1 = 2$

E o ponto $(a, f (a))$ é igual a $(- 1, 2)$ .

Logo, os pontos do gráfico de $f$ que possuem tangentes paralelas à reta $x - y = 0$ são $(1, 0)$ e $(- 1, 2)$ .

OBS: O candidato que se sentisse confortável em utilizar os conceitos de cálculo diferencial poderia resolver este problema lembrando que o coeficiente angular da reta tangente a um gráfico em um determinado ponto é dado pela derivada da função naquele ponto (fato esse confirmado pela equação dada no enunciado $m = 3 a^{2} - 2$ ). Assim, como buscamos as retas tangentes de coeficiente angular igual a 1, teríamos:

$f' (x) = 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 2 = 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Logo,

$f (1) = 1^{3} - 2 \cdot 1 + 1 = 0$

E o ponto $(a, f (a))$ é igual a $(1, 0)$ .

Analogamente,

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 2 \cdot (- 1) + 1 = 2$

E o ponto $(a, f (a))$ é igual a $(- 1, 2)$ .

b) Dado que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico é igual a 10, então temos que:

$m = 10$

Substituindo, temos:

$10 = 3 a^{2} - 2 \Leftrightarrow 3 a^{2} = 12 \Leftrightarrow a^{2} = 4 \Leftrightarrow a = \pm 2$

Como $a > 0$ , então $a = 2$ . E calculando $f (2)$ , temos:

$f (2) = 2^{3} - 2 \cdot 2 + 1 = 5$

Assim, um dos pontos de intersecção é o ponto $(2, 5)$ .

A reta tangente terá equação

$y = 10 x + f (2) - 10 \cdot 2 \Leftrightarrow y = 10 x + 5 - 20 \Leftrightarrow y = 10 x - 15$

Igualando à $f$ temos:

$x^{3} - 2 x + 1 = 10 x - 15 \Leftrightarrow x^{3} - 12 x + 16 = 0$

Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, pois sabemos que 2 é uma das raízes da equação, temos

2	1	0	–12	16
	1	2	–8	0

Portanto,

$x^{3} - 12 x + 16 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) \cdot (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Logo,

$x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 ou x^{2} + 2 x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 ou x = - 4$

Assim, os pontos de intersecção são:

$(2, f (2)) = (2, 5)$ e $(- 4, f (- 4))$

Calculando $f (- 4)$ ,

$f (- 4) = {(- 4)}^{3} - 2 \cdot (- 4) + 1 = - 64 + 8 + 1 = - 55$

Portanto, $(- 4, f (- 4)) = (- 4, - 55)$ .

Deste modo, os pontos de intersecção são $(2, 5)$ e $(- 4, - 55)$ .

OBS: Ao chegar na equação

$x^{3} - 2 x + 1 = 10 x - 15 \Leftrightarrow x^{3} - 12 x + 16 = 0$

poderíamos fatorá-la ao invés de utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Teríamos,

$x^{3} - 12 x + 16 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 4 x - 8 x + 16 = 0 \Leftrightarrow x \cdot (x^{2} - 4) - 8 \cdot (x - 2) = 0 \Leftrightarrow$

$x \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) - 8 \cdot (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) \cdot (x \cdot (x + 2) - 8) = 0 \Leftrightarrow$

$(x - 2) \cdot (x^{2} + 2 x - 8) = 0$