Questão 5 Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Geometria Analítica Área de polígonos

Em 2019, diversas praias brasileiras foram atingidas por manchas de óleo. Pesquisadores concentraram esforços na tentativa de localizar o ponto provável da emissão do óleo. Na figura abaixo, a origem do plano cartesiano está localizada no Distrito Federal e cada unidade equivale a 1.000 km.

a) Numa primeira investigação sobre a origem do óleo, um navio fez uma sondagem numa área poligonal de 63.000.000 km², com vértices 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 e 𝐸,conforme indica a figura acima. Calcule o valor da ordenada ℎ do ponto $E = (19, h)$ .

b) Após a investigação dos resíduos encontrados nas praias indicadas pelos pontos 𝐹 e 𝐺, descobriu-se que a fonte provável do óleo encontrava-se no Oceano Atlântico, a uma distância de 12.000 km do ponto 𝐹 e 18.000 km do ponto 𝐺. Encontre as coordenadas (𝑥,𝑦) da provável fonte do óleo.

Resolução

a) Observe que um quadrado de lado unitário no plano cartesiano corresponde, na realidade, a um quadrado de lado $1.000 k m$ . Logo, sua área, que no plano é de uma unidade de área, corresponde a um quadrado de área $1.000.000 k m^{2}$ . Desta forma, o polígono deve ter área $63 u.a.$ .

Para calcular a área do pentágono $A B C D E$ , podemos dividí-lo em um triângulo $A B E$ e um trapézio $B C D E$ e calcular a área de cada uma dessas partes.

O triângulo $A B E$ , quando visto com base $B E$ de medida $h - 5$ , tem altura $19 - 16 = 3$ . Daí que sua área é dada por

$A_{A B E} = \frac{(h - 5) \cdot 3}{2}$

O trapézio $B C D E$ tem bases $B E$ , de medida $h - 5$ e $C D$ de medida $6$ com altura igual a $24 - 19 = 5$ . Portanto, sua área é dada por

$A_{B C D E} = \frac{(h - 5 + 6) \cdot 5}{2} = \frac{(h + 1) \cdot 5}{2}$

Igualando a soma dessas áreas à área do polígono, temos:

$\frac{(h - 5) \cdot 3}{2} + \frac{(h + 1) \cdot 5}{2} = 63 \Rightarrow 4 h + 5 = 63 \Rightarrow 4 h = 58 \Rightarrow h = 17$

b) Seja $X (x, y)$ o ponto que representa a fonte do óleo.

Note que os pontos $F$ e $G$ são dados por $F (8, 14)$ e $G (8, - 4)$ e que, como as distâncias entre estes pontos ao ponto $X$ são, respectivamente, $12.000 k m$ e $18.000 k m$ , respeitada a escala, estes valores representam 12 e 18 unidades, respectivamente.

Lembrando que a distância $d_{A B}$ entre dois pontos $A (x_{A}, y_{A})$ e $B (x_{B}, y_{B})$ é dada por

$d_{A B} = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}$

temos que:

$12 = d_{F X} = \sqrt{{(x - 8)}^{2} + {(y - 14)}^{2}}$

$18 = d_{G X} = \sqrt{{(x - 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2}}$

o que nos fornece o seguinte sistema:

$\{\begin{cases} 12^{2} = {(x - 8)}^{2} + {(y - 14)}^{2} \\ 18^{2} = {(x - 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2} \end{cases}$

Subtraindo as duas equações, obtemos que

${(y - 14)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 180 \Rightarrow y^{2} - 28 y + 196 - y^{2} - 8 y - 16 = - 180 \Rightarrow$

$- 36 y = - 360 \Rightarrow y = 10$

Substituindo em uma das equações,

$12^{2} = {(x - 8)}^{2} + {(10 - 14)}^{2} \Leftrightarrow 144 = x^{2} - 16 x + 64 + 16 \Leftrightarrow x^{2} - 16 x - 64 = 0 \Leftrightarrow$

$x = \frac{16 \pm \sqrt{512}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{16 \pm 16 \sqrt{2}}{2} = 8 \pm 8 \sqrt{2} = 8 \cdot (1 \pm \sqrt{2})$

No entanto, como a fonte se encontra no Oceano Atlântico temos, pela figura do enunciado, que a coordenada $x$ desse ponto deve ser positiva, descartando a possibilidade $x = 8 (1 - \sqrt{2})$ .

Portanto, as coordenadas da fonte do óleo são:

$(8 \cdot (1 + \sqrt{2}), 10)$