Questão 4 Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Área de polígonos Progressão Aritmética

Sejam 𝑎,𝑏 números reais positivos. Considere a sequência de polígonos $P_{1}, P_{2}, . . ., P_{n}, . . .$ construídos da seguinte forma:

$P_{1}$ é um retângulo de lados 𝑎 e 𝑏, como mostra a figura 1;
$P_{2}$ é obtido de $P_{1}$ , retirando dele um retângulo de lados medindo 𝑎/2 e 𝑏/2, como mostra a figura 2;
$P_{3}$ é obtido de $P_{1}$ , retirando dele 3 retângulos de lados medindo 𝑎/3 e 𝑏/3, como mostra a figura 3;
$P_{4}$ é obtido de $P_{1}$ , retirando dele 6 retângulos de lados medindo 𝑎/4 e 𝑏/4, como mostra afigura 4;
E assim, sucessivamente, $P_{n}$ é obtido de $P_{1}$ , como mostra a figura 5.

a) Determine o perímetro e o número de lados de $P_{2021}$ .

b) Seja $A_{n}$ a área do polígono $P_{n}$ , e seja 𝐴 a área do triângulo retângulo de catetos com medidas 𝑎 e 𝑏. Encontre a razão $R_{n} = \frac{A_{n}}{A}$ , para 𝑛 arbitrário.

Resolução

a) Note que o polígono $P_{n}$ , para qualquer $n$ , possui na sua lateral direita $n$ segmentos verticais de comprimento $\frac{a}{n}$ . De maneira análoga, ele possui em sua borda $n$ segmentos horizontais de comprimento $\frac{b}{n}$ .

Assim, sua borda é composta de $n + 1$ segmentos horizontais e $n + 1$ segmentos verticais, totalizando $2 n + 2$ lados.

Logo, o número de lados de $P_{2021}$ é

$2 \cdot 2021 + 2 = 4044$

Além disso, o perímetro de $P_{n}$ é, então, dado por

$a + b + n \cdot \frac{a}{n} + n \cdot \frac{b}{n} = 2 a + 2 b$

daí que o perímetro de $P_{2021}$ é

$2 a + 2 b$

b) Note, na figura a seguir, que o polígono $P_{n}$ pode ser decomposto em um triângulo retângulo de catetos $a$ e $b$ (vermelho, de área $A = \frac{a b}{2}$ ) e $n$ pequenos triângulos retângulos de catetos $\frac{a}{n}$ e $\frac{b}{n}$ (pequenos triângulos acima da hipotenusa vermelha):

Desta forma, a área do polígono $P_{n}$ é dada por

$A_{n} = \frac{a b}{2} + n \cdot \frac{\frac{a}{n} \cdot \frac{b}{n}}{2} = \frac{a b}{2} + \frac{a b}{2 n}$

Logo, a razão $R_{n} = \frac{A_{n}}{A}$ é

$R_{n} = \frac{\frac{a b}{2} + \frac{a b}{2 n}}{\frac{a b}{2}} = 1 + \frac{1}{n}$

OBS: O aluno poderia notar que a $n$ -ésima figura é formada por $n$ fileiras de retângulos de lados $\frac{a}{n}$ e $\frac{b}{n}$ , de maneira que a primeira fileira tenha um desses retângulos, a segunda tenha dois, a terceira tenha 3 e assim por diante.

Ou seja, o número de retângulos em cada fileira forma uma progressão aritmética de $n$ termos, com razão $r = 1$ , primeiro termo $a_{1} = 1$ e $a_{n} = n$ . Desta forma, o número total de retângulos que compõem a figura é dado pela soma dessa progressão aritmética.

Lembrando que a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$

temos que o polígono $P_{n}$ é formado por

$S_{n} = \frac{(1 + n) \cdot n}{2}$

retângulos de área $\frac{a}{n} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a b}{n^{2}}$ tendo, então uma área

$A_{n} = \frac{(1 + n) \cdot n}{2} \cdot \frac{a b}{n^{2}}$

Ora, a área $A$ do triângulo retângulo de catetos $a$ e $b$ é

$A = \frac{a b}{2}$

Logo,

$R_{n} = \frac{A_{n}}{A} = \frac{\frac{(1 + n) \cdot n}{2} \cdot \frac{a b}{n^{2}}}{\frac{a b}{2}} = \frac{1 + n}{n} = \frac{1}{n} + 1$