Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2

Questão 1 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Velocidades das ondas sonoras 2ª Lei de Ohm

A Organização Meteorológica Mundial anunciou recentemente o novo recorde de raio mais extenso em distância percorrida (mais de setecentos quilômetros), registrado em outubro de 2018 no sul do Brasil.

a) O atraso observado entre o som (trovão) e a luz (relâmpago) produzidos por um raio se deve à diferença entre a velocidade do som e a da luz no ar. Como a velocidade da luz é muito maior que a velocidade do som, $v_{s o m} = 340 m / s$ , pode-se considerar o relâmpago como instantâneo. Se um trovão (de curta duração) é ouvido $5, 0 s$ após o relâmpago, qual é a distância entre o raio e o observador?

b) Considere agora certo raio que ocorre entre duas nuvens separadas por uma distância $L = 9, 0 k m$ . A diferença de potencial entre as nuvens é $V = 6, 0 \times 10^{7} V$ e a corrente durante a descarga é $i = 8, 0 \times 10^{5} A$ . A resistência elétrica do canal ionizado da atmosfera, que conduz a corrente do raio, é diretamente proporcional à resistividade elétrica $ρ$ do canal e ao seu comprimento $L$ , e inversamente proporcional à sua área de secção reta $A$ . Sendo $A = 3, 0 c m^{2}$ , qual é a resistividade elétrica $ρ$ desse canal ionizado?

Resolução

a) Considerando que a luz do relâmpago seja vista instantaneamente após o raio, a distância $d$ que separa o observador do fenômeno é igual à distância que o som percorre no intervalo de tempo $Δ t = 5, 0 s$ , e é igual a

$d = v_{s o m} \cdot Δ t = (340 \frac{m}{s}) \cdot (5, 0 s) = 1.700 m = 1, 7 km .$

b) Como a ddp entre as nuvens é $V = 6, 0 \cdot 10^{7} V$ e a intensidade da corrente elétrica no raio é $i = 8, 0 \cdot 10^{5} A$ , a resistência elétrica entre as nuvens pode ser determinada pela primeira lei de Ohm:

$V = R \cdot i \Rightarrow$

$R = \frac{V}{i} = \frac{6, 0 \cdot 10^{7} V}{8, 0 \cdot 10^{5} A} = 75 Ω .$

Aplicando a segunda lei de Ohm, podemos relacionar esta resistência elétrica à distância percorrida pelo raio, $L = 9, 0 km = 9, 0 \cdot 10^{3} m$ , à área da secção reta do canal, $A = 3, 0 {cm}^{2} = 3 \cdot 10^{- 4} m^{2}$ , e à resistividade elétrica $ρ$ do meio neste canal. Temos:

$R = \frac{ρ \cdot L}{A} \Rightarrow$

$ρ = \frac{R \cdot A}{L} = \frac{(75 Ω) \cdot (3, 0 \cdot 10^{- 4} m^{2})}{(9, 0 \cdot 10^{3} m)} = 2, 5 \cdot 10^{- 6} Ω \cdot m .$

Questão 2 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Problemas Envolvendo Vazão, Chuva e Correlatos Energia Potencial Gravitacional na Dinâmica

a) O rio Amazonas tem a maior vazão $Z$ dentre todos os rios do planeta: $Z \approx 2, 1 \times 10^{5} m^{3} / s$ . Encontre a velocidade da água em um trecho do rio Amazonas que tem uma largura $L = 10 km$ e uma profundidade $p = 50 m$ . Observe que o volume de água que atravessa a secção reta do rio num determinado ponto durante um intervalo de tempo $∆ t$ é dado por $L \times p \times ∆ X$ , sendo $∆ X$ a distância que a água percorre durante $∆ t$ .

b) Cada turbina da Usina Hidrelétrica de Tucuruí, no rio Tocantins, recebe um volume de água $V \approx 900 m^{3}$ em um intervalo de tempo $∆ t = 1, 0 s$ . Considerando uma queda d’água do reservatório até a turbina de altura $h = 70 m$ , que potência é transferida à turbina proveniente da energia potencial gravitacional da água no reservatório?

Densidade da água: $ρ_{á g u a} = 1000 kg / m^{3}$ .

Resolução

a) Como a vazão do rio Amazonas é de $2, 1 \cdot 10^{5} m^{3}$ por segundo, em um intervalo de tempo de 1 segundo ( $Δ t = 1 s$ ) ele escoa $2, 1 \cdot 10^{5} m^{3}$ de água. Utilizando a equação dada no enunciado e considerando $L = 10 k m = 10^{4} m$ e $p = 50 m$ , temos que a distância que a água percorre no intervalo de tempo considerado é

$V = L \cdot p \cdot Δ x \Rightarrow$

$(2, 1 \cdot 10^{5} m^{3}) = (10^{4} m) \cdot (50 m) \cdot Δ x \Rightarrow$

$Δ x = \frac{2, 1 \cdot 10^{5} m^{3}}{5 \cdot 10^{5} m^{2}} = 0, 42 m = 42 cm .$

Desta forma, a velocidade com que a água do rio Amazonas escoa é

$v = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{42 cm}{1 s} = 42 cm / s = 0, 42 m / s .$

b) A massa $m$ de água contida no volume $V = 900 m^{3}$ é

$m = ρ_{á g u a} \cdot V = (1000 \frac{kg}{m^{3}}) \cdot (900 m^{3}) = 9 \cdot 10^{5} kg .$

Esta massa de água, na parte alta da queda d'água, possui energia potencial gravitacional

$E_{p o t} = m \cdot g \cdot h = (9 \cdot 10^{5} kg) \cdot (10 \frac{m}{s^{2}}) \cdot (70 m) = 6, 3 \cdot 10^{8} J .$

Considerando que toda esta energia potencial seja transferida à turbina, sem perdas, a potência transferida é

$P o t = \frac{E_{p o t}}{Δ t} = \frac{6, 3 \cdot 10^{8} J}{1 s} = 6, 3 \cdot 10^{8} W .$

Questão 3 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Aplicações da Segunda Lei de Newton Impulso e Quantidade de Movimento

Recentemente, um foguete da empresa americana SpaceX foi lançado na Flórida (EUA), levando dois astronautas à Estação Espacial Internacional (ISS). Este foi o primeiro lançamento tripulado dos EUA em nove anos.

a) A eficiência dos motores de foguetes é representada pelo impulso específico $I_{S P}$ , que é medido em segundos. A intensidade da força obtida pelo motor do foguete é dada por $F_{M} = I_{S P} \cdot g \cdot \frac{∆ m}{∆ t}$ , em que $\frac{∆ m}{∆ t}$ é a massa de combustível expelida por unidade de tempo e $g$ é a aceleração da gravidade. Considere um foguete de massa total $M_{F} = 6, 0 \times 10^{5} kg$ durante o início do seu lançamento da superfície da Terra. Sabendo que o foguete atinge a iminência do seu movimento vertical quando $\frac{∆ m}{∆ t} = 2, 0 \times 10^{3} kg / s$ , calcule o $I_{S P}$ desse foguete. Despreze a variação da massa total do foguete durante o início do lançamento.

b) Usando um princípio físico similar ao do lançamento de um foguete, um menino deseja mover-se sobre um skate lançando uma bola que ele segura nas mãos. O conjunto menino+skate+bola encontra-se inicialmente em repouso sobre uma superfície plana e horizontal. O menino lança a bola de massa $m_{b} = 0, 4 kg$ com uma velocidade de módulo $v_{b} = 5 m / s$ na direção horizontal e frontal do skate. Sabendo que a massa do conjunto menino+skate (excluindo a bola) é $m_{s} = 50 kg$ , calcule o módulo da velocidade de recuo do conjunto menino+skate imediatamente após o lançamento da bola. Despreze qualquer força resultante externa agindo no conjunto menino+skate+bola.

Resolução

a) A decolagem iniciará no instante em que a força realizada pelo motor tiver intensidade maior do que o peso $P$ do foguete. Na iminência da decolagem vertical, ambas as forças possuem a mesma intensidade: $F_{M} = P$ .

Temos, então, que, na iminência da decolagem,

$F_{M} = P \Rightarrow$

$I_{S P} \cdot g \cdot \frac{Δ m}{Δ t} = M_{F} \cdot g \Rightarrow$

$I_{S P} = \frac{M_{F}}{(Δ m / Δ t)} .$

Utilizando os valores dados no enunciado da questão, teremos que o impulso específico possui valor

$I_{S P} = \frac{6, 0 \cdot 10^{5} kg}{2, 0 \cdot 10^{3} kg / s} = 3, 0 \cdot 10^{2} s .$

b) Antes de o menino arremessar a bola, o conjunto se encontra em repouso, portanto possui quantidade de movimento nula. Sendo um sistema com resultante das forças externas nula, portanto, desprezando-se quaisquer atritos e considerando a informação de que se trata de superfície plana e horizontal, há conservação da quantidade de movimento no lançamento. Observe a figura:

Como a bola e o conjunto menino+skate passam a se mover em sentidos opostos, temos que

$m_{s} \cdot v_{s} - m_{b} \cdot v_{b} = 0 \Rightarrow$

$v_{s} = \frac{m_{b}}{m_{s}} v_{b} = \frac{0, 4 kg}{50 kg} (5 m / s) = 0, 04 m / s = 4 cm / s .$

Questão 4 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Dilatação Linear Energia Potencial Elástica

A estudante gaúcha Juliana Estradioto, uma das vencedoras da 5ª edição do Prêmio Donna, ganhou reconhecimento internacional e convite para acompanhar a cerimônia do prêmio Nobel (2020) pelo seu trabalho, em que transformou casca de macadâmia em plástico biodegradável. Os materiais plásticos tradicionais são bastante utilizados por sua leveza, plasticidade e maleabilidade, mas trazem um impacto significativo ao meio ambiente pela sua lenta decomposição na natureza.

a) Os materiais podem sofrer deformações em resposta a vários agentes, como, por exemplo, os mecânicos e os térmicos. Considere uma barra plástica de comprimento $L_{0} = 50 cm$ no momento em que sua temperatura é igual a $T_{0} = 20 ° C$ . Calcule o novo comprimento da barra quando ela for aquecida a uma temperatura $T = 50 ° C$ . O coeficiente de dilatação térmica da barra é $α = 7, 0 \times 10^{- 5} ° C^{- 1}$ .

b) No regime de deformações elásticas, os materiais se deformam de forma análoga a uma mola, recuperando sua forma original quando o agente externo é removido. Considere uma barra de material plástico que é esticada elasticamente, sofrendo uma deformação $∆ X = 0, 2 cm$ em relação ao seu comprimento de equilíbrio. Calcule a energia potencial elástica acumulada na barra, considerando-a como uma mola de constante elástica $k = 8, 0 \times 10^{3} N / m$ que sofra a mesma deformação a partir da sua posição relaxada.

Resolução

a) A dilatação linear de um sólido é dada pela expressão

$L - L_{0} = L_{0} \cdot α \cdot ∆ T \Rightarrow$

$L = L_{0} \cdot (1 + α \cdot ∆ T) \Rightarrow$

$L = 50 \cdot (1 + 7 \cdot 10^{- 5} \cdot (50 - 20)) (cm) \Rightarrow$

$L = 50 \cdot (1 + 7 \cdot 10^{- 5} \cdot 30) (cm) \Rightarrow$

$L = 50 \cdot (1 + 210 \cdot 10^{- 5}) (cm) \Rightarrow$

$L = 50 \cdot (1, 0021) (cm) \Rightarrow$

$L = 50, 105 cm$

b) Considerando a descrição do enunciado, podemos afirmar que a energia potencial $E$ armazenada na barra plástica pode ser calculada de forma análoga a uma mola, portanto

$E = \frac{k \cdot ∆ x^{2}}{2} \Rightarrow$

$E = \frac{8 \cdot 10^{3} \cdot {(0, 2 \cdot 10^{- 2})}^{2}}{2} \Rightarrow$

$E = \frac{8 \cdot 10^{3} \cdot 0, 04 \cdot 10^{- 4}}{2} \Rightarrow$

$E = 0, 016 J \Leftrightarrow E = 1, 6 \cdot 10^{- 2} J$

Note que consideramos o valor da deformação $∆ x$ em unidades do S.I. (m), por isso a potência de 10.

Questão 5 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Espelhos planos Campo elétrico uniforme 2ª Lei de Newton

Espelhos inteligentes simulam espelhos convencionais e visam a ampliar sua função de produção de imagens dos objetos. Acoplados a computadores, esses equipamentos apresentam telas com muitas funcionalidades, tais como um modo de realidade ampliada, em que o usuário consegue alterar o tamanho, a orientação e a iluminação da sua própria imagem.

a) Considere uma pessoa a uma distância $d_{p} = 50 cm$ de um espelho plano convencional que segura um pequeno objeto no nível dos seus olhos a uma distância $d_{o} = 10 cm$ do espelho. Faça um desenho esquemático que mostre a posição dos olhos da pessoa, do espelho, do objeto e da sua imagem, e determine a distância entre os olhos da pessoa e a posição da imagem do objeto produzida pelo espelho.

b) Nas antigas telas de tubos de raios catódicos, as imagens são formadas por elétrons acelerados e defletidos que atingem uma tela composta por um material que emite luz. Uma partícula de carga $q$ , na presença de um campo elétrico uniforme ${\vec{E}}_{0}$ de módulo constante, adquire uma aceleração ${\vec{a}}_{0}$ de módulo constante na mesma direção de ${\vec{E}}_{0}$ , cujo sentido depende do sinal de $q$ . Calcule o módulo de ${\vec{a}}_{0}$ adquirido por uma partícula com carga $q = 3, 2 \times 10^{- 19} C$ e massa $m = 2, 0 \times 10^{- 26} kg$ quando $E_{0} = 4000 N / C$ .

Resolução

a) A figura abaixo ilustra a situação descrita, bem como a imagem conjugada pelo espelho plano do objeto em questão.

Em preto temos as dimensões dadas. Em azul a dimensão que podemos concluir, uma vez que a imagem e objeto são equidistantes do espelho plano. Em vermelho a distância pedida entre o observador e a imagem conjugada do objeto. Pela figura nota-se que

$d = 50 + 10 = 60 cm$

b) Como a partícula está submetida a um campo elétrico uniforme, desprezando-se a ação gravitacional, podemos dizer que a força resultante que atua sobre ela é dada, em módulo, por

$|\vec{F}| = q \cdot |\vec{E}|$

além disso, da segunda lei de Newton temos

$m \cdot |\vec{a_{0}}| = q \cdot |\vec{E}| \Rightarrow$

$|\vec{a_{0}}| = \frac{q \cdot |\vec{E}|}{m} \Rightarrow$

$|\vec{a_{0}}| = \frac{3, 2 \cdot 10^{- 19} \cdot 4000}{2 \cdot 10^{- 26}} \Rightarrow$

$|\vec{a_{0}}| = 6, 4 \cdot 10^{10} m / s^{2}$

Note que $|\vec{a_{0}}| ≫ |\vec{g}|$ , e desse modo, de fato, podemos desprezar os efeitos gravitacionais.

Questão 6 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equações de Clapeyron (Física) Introdução à Física Quântica

O Aconcágua é uma montanha na Cordilheira dos Andes com aproximadamente 7000 m de altitude, a mais alta fora da Ásia.

a) O gráfico abaixo mostra curvas padronizadas da pressão e da temperatura do ar atmosférico em função da altitude. O ar comporta-se como um gás ideal e pode-se usar $R = 8 J / m o l . K$ para a constante universal dos gases perfeitos. Calcule o volume molar do ar no pico do Aconcágua, que é dado pela razão $(V / n)$ , ou seja, pelo volume de ar, $V$ , dividido pelo correspondente número de moles, $n$ .

b) A radiação solar que atinge a superfície da Terra é, em parte, absorvida pelas moléculas e partículas da atmosfera, sendo que a fração transmitida que chega ao nível do mar é menor do que aquela que atinge as altitudes elevadas. A figura abaixo mostra a curva de transmitância em função do comprimento de onda da radiação eletromagnética solar, para um ponto ao nível do mar, nas regiões do visível e do infravermelho. Nessa curva, podem-se ver duas largas janelas de alta transmitância no infravermelho. Sabendo que a energia de um fóton é dada por $E = h f$ , sendo $h = 4 \times 10^{- 15}$ e $V . s$ a constante de Planck e $f$ a frequência da onda eletromagnética, encontre a menor energia dos fótons transmitidos por essas janelas no infravermelho.

Velocidade da luz: $c = 3, 0 \times 10^{8} m / s$ .

Resolução

a) Da equação de Clapeyron temos

$P \cdot V = n \cdot R \cdot T \Rightarrow$

$\frac{V}{n} = \frac{R \cdot T}{P}$

Do gráfico, podemos verificar que à altitude de 7000 m (7 km) a pressão é $P = 0, 4 \cdot 10^{5} Pa$ e a temperatura média do ar é $T = 240 K$ .

Substituindo os dados na equação acima temos

$\frac{V}{n} = \frac{(8 \frac{J}{m o l \cdot K}) \cdot (240 K)}{(0, 4 \cdot 10^{5} P a)} \Rightarrow$

$\frac{V}{n} = 4, 8 \cdot 10^{- 2} \frac{m^{3}}{mol}$

Com relação às unidades, como $J = N \cdot m$ e $P a = N / m^{2}$ , temos

$\frac{J}{m o l} \cdot \frac{1}{P a} = \frac{N \cdot m}{m o l} \cdot \frac{m^{2}}{N} = \frac{m^{3}}{m o l} .$

b) A menor energia do fóton que pode ser transmitido está associada à menor frequência, uma vez que essas grandezas são proporcionais entre si, $E = h \cdot f$ . Além disso, a frequência é inversamente proporcional ao comprimento de onda, portanto, a menor frequência está associada ao maior comprimento de onda possível. Nesse caso, o maior comprimento de onda possível que está contido em uma janela de transmissão é $λ = 14 \cdot 10^{- 6} m$ .

Devido à relação fundamental, $c = λ \cdot f$ , a energia do fóton associado a este comprimento de onda é dada por

$E = h \cdot f \Rightarrow$

$E = h \cdot \frac{c}{λ} \Rightarrow$

$E = (4 \cdot 10^{- 15} e V \cdot s) \cdot \frac{(3 \cdot 10^{8} \frac{m}{s})}{(14 \cdot 10^{- 6} m)} \Rightarrow$

$E = \frac{6}{70} e V$