Questão 2 Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Problemas Envolvendo Vazão, Chuva e Correlatos Energia Potencial Gravitacional na Dinâmica

a) O rio Amazonas tem a maior vazão $Z$ dentre todos os rios do planeta: $Z \approx 2, 1 \times 10^{5} m^{3} / s$ . Encontre a velocidade da água em um trecho do rio Amazonas que tem uma largura $L = 10 km$ e uma profundidade $p = 50 m$ . Observe que o volume de água que atravessa a secção reta do rio num determinado ponto durante um intervalo de tempo $∆ t$ é dado por $L \times p \times ∆ X$ , sendo $∆ X$ a distância que a água percorre durante $∆ t$ .

b) Cada turbina da Usina Hidrelétrica de Tucuruí, no rio Tocantins, recebe um volume de água $V \approx 900 m^{3}$ em um intervalo de tempo $∆ t = 1, 0 s$ . Considerando uma queda d’água do reservatório até a turbina de altura $h = 70 m$ , que potência é transferida à turbina proveniente da energia potencial gravitacional da água no reservatório?

Densidade da água: $ρ_{á g u a} = 1000 kg / m^{3}$ .

Resolução

a) Como a vazão do rio Amazonas é de $2, 1 \cdot 10^{5} m^{3}$ por segundo, em um intervalo de tempo de 1 segundo ( $Δ t = 1 s$ ) ele escoa $2, 1 \cdot 10^{5} m^{3}$ de água. Utilizando a equação dada no enunciado e considerando $L = 10 k m = 10^{4} m$ e $p = 50 m$ , temos que a distância que a água percorre no intervalo de tempo considerado é

$V = L \cdot p \cdot Δ x \Rightarrow$

$(2, 1 \cdot 10^{5} m^{3}) = (10^{4} m) \cdot (50 m) \cdot Δ x \Rightarrow$

$Δ x = \frac{2, 1 \cdot 10^{5} m^{3}}{5 \cdot 10^{5} m^{2}} = 0, 42 m = 42 cm .$

Desta forma, a velocidade com que a água do rio Amazonas escoa é

$v = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{42 cm}{1 s} = 42 cm / s = 0, 42 m / s .$

b) A massa $m$ de água contida no volume $V = 900 m^{3}$ é

$m = ρ_{á g u a} \cdot V = (1000 \frac{kg}{m^{3}}) \cdot (900 m^{3}) = 9 \cdot 10^{5} kg .$

Esta massa de água, na parte alta da queda d'água, possui energia potencial gravitacional

$E_{p o t} = m \cdot g \cdot h = (9 \cdot 10^{5} kg) \cdot (10 \frac{m}{s^{2}}) \cdot (70 m) = 6, 3 \cdot 10^{8} J .$

Considerando que toda esta energia potencial seja transferida à turbina, sem perdas, a potência transferida é

$P o t = \frac{E_{p o t}}{Δ t} = \frac{6, 3 \cdot 10^{8} J}{1 s} = 6, 3 \cdot 10^{8} W .$