Questão 6 Unicamp 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Equações de Clapeyron (Física) Introdução à Física Quântica

O Aconcágua é uma montanha na Cordilheira dos Andes com aproximadamente 7000 m de altitude, a mais alta fora da Ásia.

a) O gráfico abaixo mostra curvas padronizadas da pressão e da temperatura do ar atmosférico em função da altitude. O ar comporta-se como um gás ideal e pode-se usar $R = 8 J / m o l . K$ para a constante universal dos gases perfeitos. Calcule o volume molar do ar no pico do Aconcágua, que é dado pela razão $(V / n)$ , ou seja, pelo volume de ar, $V$ , dividido pelo correspondente número de moles, $n$ .

b) A radiação solar que atinge a superfície da Terra é, em parte, absorvida pelas moléculas e partículas da atmosfera, sendo que a fração transmitida que chega ao nível do mar é menor do que aquela que atinge as altitudes elevadas. A figura abaixo mostra a curva de transmitância em função do comprimento de onda da radiação eletromagnética solar, para um ponto ao nível do mar, nas regiões do visível e do infravermelho. Nessa curva, podem-se ver duas largas janelas de alta transmitância no infravermelho. Sabendo que a energia de um fóton é dada por $E = h f$ , sendo $h = 4 \times 10^{- 15}$ e $V . s$ a constante de Planck e $f$ a frequência da onda eletromagnética, encontre a menor energia dos fótons transmitidos por essas janelas no infravermelho.

Velocidade da luz: $c = 3, 0 \times 10^{8} m / s$ .

Resolução

a) Da equação de Clapeyron temos

$P \cdot V = n \cdot R \cdot T \Rightarrow$

$\frac{V}{n} = \frac{R \cdot T}{P}$

Do gráfico, podemos verificar que à altitude de 7000 m (7 km) a pressão é $P = 0, 4 \cdot 10^{5} Pa$ e a temperatura média do ar é $T = 240 K$ .

Substituindo os dados na equação acima temos

$\frac{V}{n} = \frac{(8 \frac{J}{m o l \cdot K}) \cdot (240 K)}{(0, 4 \cdot 10^{5} P a)} \Rightarrow$

$\frac{V}{n} = 4, 8 \cdot 10^{- 2} \frac{m^{3}}{mol}$

Com relação às unidades, como $J = N \cdot m$ e $P a = N / m^{2}$ , temos

$\frac{J}{m o l} \cdot \frac{1}{P a} = \frac{N \cdot m}{m o l} \cdot \frac{m^{2}}{N} = \frac{m^{3}}{m o l} .$

b) A menor energia do fóton que pode ser transmitido está associada à menor frequência, uma vez que essas grandezas são proporcionais entre si, $E = h \cdot f$ . Além disso, a frequência é inversamente proporcional ao comprimento de onda, portanto, a menor frequência está associada ao maior comprimento de onda possível. Nesse caso, o maior comprimento de onda possível que está contido em uma janela de transmissão é $λ = 14 \cdot 10^{- 6} m$ .

Devido à relação fundamental, $c = λ \cdot f$ , a energia do fóton associado a este comprimento de onda é dada por

$E = h \cdot f \Rightarrow$

$E = h \cdot \frac{c}{λ} \Rightarrow$

$E = (4 \cdot 10^{- 15} e V \cdot s) \cdot \frac{(3 \cdot 10^{8} \frac{m}{s})}{(14 \cdot 10^{- 6} m)} \Rightarrow$

$E = \frac{6}{70} e V$