Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2

Questão 1 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Impulso e Quantidade de Movimento

Estudos indicam que uma massa $m = 1000 kg$ de poeira cósmica, composta por minúsculas partículas, colide com a superfície da Terra a cada intervalo $Δ t = 20 \min$ . Considere, para simplificar, que as partículas de poeira têm velocidade média nula antes de serem arrastadas pela Terra no seu movimento em torno do Sol. Logo após colidirem com a superfície do nosso planeta, elas passam a se deslocar juntamente com a Terra, com velocidade média de módulo igual a $V_{T e r r a} = 30 km / s$ .Considere também que o movimento da Terra num intervalo $Δ t = 20 \min$ é retilíneo e uniforme.

a) Qual é a densidade da poeira na região do espaço atravessada pela Terra? Ver ilustração acima.
b) Qual é o módulo da força média aplicada pela Terra sobre a massa de poeira cósmica que ela intercepta durante um intervalo $Δ t = 20 \min$ ?

Resolução

a) O comprimento $L$ do cilindro atravessado pela Terra é igual a seu deslocamento no intervalo de tempo considerado, $Δ t = 20 \min = 1200 s$ , percorrido com velocidade $v = 30 km / s = 3 \cdot 10^{4} m / s$ . Como o movimento é uniforme, em unidades do S.I., vem que

$L = Δ s \Rightarrow L = v \cdot Δ t \Rightarrow L = 3 \cdot 10^{4} \cdot 1200 \Rightarrow L = 36 \cdot 10^{6} m .$

O volume do cilindro "varrido" pela Terra é, então,

$V = A \cdot L \Rightarrow V = 1, 25 \cdot 10^{14} \cdot 36 \cdot 10^{6} \Rightarrow V = 4, 5 \cdot 10^{21} m^{3} .$

Com isso, a densidade da poeira na região é

$ρ = \frac{m}{V} \Rightarrow ρ = \frac{1000}{4, 5 \cdot 10^{21}} \Rightarrow ρ = \frac{20}{9} \cdot 10^{- 19} kg / m^{3} ≅ 2, 2 \cdot 10^{- 19} kg / m^{3} .$

Outra resposta possível, expressando as distâncias em quilômetros, é

$ρ = \frac{20}{9} \cdot 10^{- 10} kg / {km}^{3} ≅ 2, 2 \cdot 10^{- 10} kg / {km}^{3} .$

b) A força aplicada pela Terra sobre a poeira é a responsável por fazê-la adquirir a mesma velocidade do planeta, 30 km/s. Desta forma, o impulso da força aplicada pela Terra é igual à variação da quantidade de movimento da poeira. Considerando a força média, aplicada pela Terra, de módulo $F_{m}$ , vem que

$\vec{I} = Δ \vec{Q} \Rightarrow F_{m} \cdot Δ t = m \cdot Δ v .$

Como a velocidade inicial $v_{0}$ da poeira é nula,

$Δ v = v - v_{0} = 3 \cdot 10^{4} m / s,$

então, com as grandezas em unidades do S.I.,

$F_{m} \cdot 1200 = 1000 \cdot 3 \cdot 10^{4} \Rightarrow F_{m} = 2, 5 \cdot 10^{4} N .$

Questão 2 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Empuxo Arquimediano Energia Potencial Gravitacional na Dinâmica

Um densímetro de posto de combustível, usado para analisar o etanol, consiste de um tubo de vidro que fica parcialmente submerso no etanol. O peso do tubo é fixo, de forma que o volume do tubo que fica submerso depende da densidade do etanol. Uma escala na parte superior do tubo indica o valor da densidade medida.

a) O etanol combustível é hidratado, ou seja, contém uma porcentagem de água. A figura acima ilustra duas medidas de densidade de etanol. A primeira é de uma amostra de etanol hidratado dentro da especificação, cujo valor é $ρ_{1} = 0, 810 g / {cm}^{3} .$ Nessa medida, o volume submerso do densímetro é $V_{1}$ . A segunda medida, realizada com o mesmo densímetro, é de uma amostra fora da especificação e, nesse caso, o volume submerso do densímetro é $V_{2}$ . A diferença dos volumes submersos é de 10% de $V_{1}$ , ou seja, $Δ V = V_{1} - V_{2} = 0, 1 V_{1}$ . Qual é a densidade $ρ_{2}$ da segunda amostra?

b) Num posto de combustível, a gasolina é bombeada do reservatório subterrâneo até o tanque do veículo, numa altura $h = 3, 0 m$ acima do nível superior do reservatório. A gasolina, que é sempre retirada da parte superior do reservatório, encontra-se inicialmente parada e é despejada no tanque do veículo a uma velocidade $v = 0, 8 m / s$ . Qual é o aumento da energia mecânica da gasolina proporcionado pela bomba ao encher um tanque de volume $V = 40 litros$ ?
Dado: $ρ_{g a s o l i n a} = 0, 75 g / {cm}^{3}$ .

Resolução

a) A fim de que o densímetro fique parcialmente submerso nos fluidos sem tocar o fundo do recipiente, a força de empuxo aplicada por cada fluido deve ter módulo $E$ igual ao do peso $P$ do objeto. Na primeira medida, o volume $V_{1}$ encontra-se submerso na amostra; na segunda medida, o volume submerso vale

$V_{1} - V_{2} = 0, 1 \cdot V_{1} \Rightarrow V_{2} = 0, 9 \cdot V_{1} .$

Seja $E_{1}$ o módulo do empuxo produzido pela amostra de densidade $ρ_{1}$ quando o volume $V_{1}$ encontra-se submerso, e $E_{2}$ o análogo relativo à segunda medida, temos que

$E_{1} = E_{2} \Rightarrow ρ_{1} \cdot V_{1} \cdot g = ρ_{2} \cdot V_{2} \cdot g \Rightarrow 0, 81 \cdot V_{1} = ρ_{2} \cdot 0, 9 \cdot V_{1} \Rightarrow ρ_{2} = 0, 9 g / {cm}^{3} .$

b) O volume de gasolina que será movimentado pela bomba é de

$V = 40 L = 40 \cdot 10^{3} {cm}^{3},$

portanto a massa de gasolina, de densidade $ρ_{g a s o l i n a} = 0, 75 g / {cm}^{3}$ , que será levada ao tanque do veículo é

$m = ρ_{g a s o l i n a} \cdot V \Rightarrow m = 0, 75 \cdot 40 \cdot 10^{3} \Rightarrow m = 30 \cdot 10^{3} g = 30 kg .$

O aumento de energia mecânica se deve ao aumento da energia potencial gravitacional e ao aumento da energia cinética da gasolina. Para a energia potencial gravitacional, em unidades do S.I.,

$Δ E_{P O T} = m \cdot g \cdot Δ h \Rightarrow Δ E_{P O T} = 30 \cdot 10 \cdot 3 = 900 J .$

Como a gasolina está em repouso no tanque, $v_{0} = 0$ , e a variação da energia cinética é igual à energia cinética final. Assim, também em unidades do S.I.,

$Δ E_{C I N} = E_{C I N, F} - E_{C I N, I} \Rightarrow Δ E_{C I N} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2} - 0 \Rightarrow Δ E_{C I N} = \frac{1}{2} 30 \cdot 0, 8^{2} \Rightarrow Δ E_{C I N} = 9, 6 J .$

Logo, a variação de energia mecânica é de

$Δ E_{M E C} = Δ E_{P O T} + Δ E_{C I N} \Rightarrow Δ E_{M E C} = 900 + 9, 6 \Rightarrow Δ E_{M E C} = 909, 6 J .$

A variação ser positiva indica que houve aumento da energia mecânica, tal como o enunciado da questão sugere.

Questão 3 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Energia Potencial Elástica Resistores em Série

Relês são dispositivos eletromecânicos usados para abrir e fechar contatos elétricos através da deflexão de uma lâmina metálica (armadura) que é atraída pelo campo magnético gerado por uma bobina, conforme ilustra a Figura A.

a) No relê da Figura A, a constante elástica da mola presa à armadura é $k = 1500 N / m$ . Quando a bobina é ligada, qual é a energia potencial da mola, se ela for distendida de $Δ x = 0, 8 mm$ em relação à sua posição de equilíbrio?
b) Resistores LDR (Resistor Dependente de Luz) apresentam alta resistência elétrica na ausência de luz, e baixa resistência quando iluminados. Um uso frequente desses resistores se verifica no acionamento de relês. A Figura B (no espaço de resposta) fornece a resistência do LDR do circuito da Figura C em função da intensidade luminosa. Qual é a tensão no LDR quando a intensidade de luz solar nele incidente é igual a $I = 0, 5 W / m^{2}$ ?

CAMPO DE RESOLUÇÃO E RESPOSTA

Resolução

a) A energia potencial elástica presente em uma mola de constante elástica $k$ distendida ou comprimida por $Δ x$ é $E_{P O T, E L} = \frac{1}{2} k \cdot {(Δ x)}^{2}$ . Como a deformação da mola, distensão, no caso, é de

$Δ x = 0, 8 m m = 8 \cdot 10^{- 4} m,$

temos, em unidades do S.I.,

$E_{P O T, E L} = \frac{1}{2} 1500 \cdot {(8 \cdot 10^{- 4})}^{2} \Rightarrow E_{P O T, E L} = 4, 8 \cdot 10^{- 4} J .$

b) Do gráfico, podemos perceber que quando a intensidade vale $I = 0, 5 W / m^{2}$ a resistência do LDR vale $R_{L} = 7 \cdot 10^{3} Ω$ (ponto destacado em vermelho na figura abaixo).

Como o LDR está associado em série com o resistor de resistência $R_{1} = 3 \cdot 10^{3} Ω$ , o conjunto possui resistência equivalente

$R_{e q} = R_{L} + R_{1} = 7 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{3} = 10 \cdot 10^{3} Ω .$

Devido a isso, a corrente que circulará pela associação possui intensidade que pode ser determinada pela lei de Ohm aplicada ao circuito. Usando unidades do S.I.,

$i = \frac{ε}{R_{e q}} = \frac{5}{10 \cdot 10^{3}} \Rightarrow i = 0, 5 \cdot 10^{- 3} A .$

Assim, a tensão (diferença de potencial) no LDR é

$U_{L} = R_{L} \cdot i = 7 \cdot 10^{3} \cdot 0, 5 \cdot 10^{- 3} \Rightarrow U_{L} = 3, 5 V .$

Questão 4 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Caráter Dual da Luz

Filtros ópticos têm muitas aplicações: óculos de sol, equipamentos fotográficos, equipamentos de proteção individual (EPI) em atividades profissionais, etc. A densidade óptica de um filtro (OD) é definida por $OD = - \log_{10} T$ , sendo $T$ a transmitância óptica, que é dada pela razão entre a intensidade luminosa transmitida e a intensidade incidente. Nas máscaras de soldador, bem como naquelas usadas para a observação direta do Sol durante um eclipse, são necessários filtros de densidades ópticas muito elevadas, ou seja, filtros que transmitem muito pouca luz, tanto na região visível (de 400 nm a 700 nm) quanto no ultravioleta e no infravermelho.

a) No espaço de resposta, apresenta-se um gráfico da densidade óptica em função do comprimento de onda $λ$ para vários filtros, sendo que para cada um deles a densidade óptica na região visível é aproximadamente constante. Quanto vale a transmitância para $λ = 900 nm$ do filtro de $OD ~ 0, 4$ na região visível?

b) A água é um bom filtro óptico no infravermelho próximo, e tem um pico de absorção em comprimentos de onda ligeiramente inferiores a $3, 0 μ m$ . A energia do fóton é dada por $E = h f$ , em que $h = 6, 6 x 10^{- 34} J \cdot s$ é a constante de Planck, e $f$ é a frequência da onda eletromagnética. Quanto vale a energia do fóton absorvido no comprimento de onda $λ = 3, 0 μ m$ ?

*A velocidade da luz no vácuo vale $c = 3, 0 \times 10^{8} m / s$ .

CAMPO DE RESOLUÇÃO E RESPOSTA

Resolução

a) A figura abaixo destaca em verde o gráfico da densidade óptica (OD) do filtro que possui OD de aproximadamente 0,4 para a luz visível, compreendida no intervalo de comprimentos de onda entre 400 nm e 700 nm.

Note no gráfico que este filtro, no comprimento de onda de 900 nm, possui $O D = 1, 0$ (ponto marcado em vermelho no gráfico acima). Da definição dada no enunciado para a densidade óptica, vem que:

$O D = - \log_{10} T \Leftrightarrow 1, 0 = - \log_{10} T \Leftrightarrow T = 10^{- 1} \Leftrightarrow T = 0, 1 = 10 %$ .

b) A frequência de uma onda eletromagnética no vácuo pode ser expressa em função da velocidade da luz no vácuo e do comprimento de onda como:

$f = \frac{c}{λ}$ .

Aplicando esta expressão à da energia do fóton, temos, utilizando unidades do S.I. com $λ = 3, 0 μm = 3, 0 \cdot 10^{- 6} m$ :

$E = h \cdot f = h \cdot \frac{c}{λ} = 6, 6 \cdot 10^{- 34} \cdot \frac{3, 0 \cdot 10^{8}}{3, 0 \cdot 10^{- 6}} \Leftrightarrow E = 6, 6 \cdot 10^{- 20} J .$

Questão 5 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Construção Geométrica (Espelhos Esféricos) Potência Térmica sem Mudança de Fase

As vidraças de um arranha-céu em Londres, conhecido como “Walkie Talkie”, reproduzem a forma de um espelho côncavo. Os raios solares refletidos pelo edifício provocaram danos em veículos e comércios próximos.

a) Considere um objeto em frente e ao longo do eixo do espelho côncavo de raio de curvatura R = 1,0 m, conforme mostra a figura no espaço de resposta. Complete os raios luminosos na figura. Em seguida, calcule a distância d do objeto ao vértice do espelho (ponto O), de forma que a intensidade de raios solares, incidentes paralelamente ao eixo do espelho, seja máxima na posição do objeto.

b) Um objeto metálico de massa $m = 200 g$ e calor específico $c = 480 J / (k g \cdot ° C)$ absorve uma potência $P = 60 W$ de radiação solar focalizada por um espelho côncavo. Desprezando as perdas de calor por radiação, condução e convecção, calcule a variação de temperatura do objeto após $Δ t = 32 s$ de exposição a essa radiação.

FOLHA DE RESPOSTAS

Resolução

a) A figura a seguir mostra os caminhos dos raios luminosos.

Observe que na figura acima está representada a continuação da trajetória do raio 1 que, por incidir paralelamente ao eixo principal do espelho, deverá ser refletido passando pelo foco do espelho (ponto F), assumindo válidas as condições de Gauss para este espelho. O raio 2 que incide formando um ângulo $α$ com o eixo principal deverá ser refletido mantendo este mesmo ângulo com o eixo principal.

Lembremos que a abscissa focal corresponde ao comprimento do segmento $O F$ da figura e este comprimento corresponde à metade do comprimento do segmento $O C = R$ , em que $R$ é o raio do espelho esférico. Assim:

$f = \frac{R}{2} \Rightarrow f = 0, 5 m .$

Como os raios que incidem paralelamente ao eixo principal convergem para o foco após refletirem, é no ponto F onde a intensidade de raios solares será máxima e, portanto, é ali que deverá estar localizado o objeto. Desta forma,

$d = f = 0, 5 m .$

b) Lembrando da equação do calor sensível

$Q = m \cdot c \cdot Δ θ$ (1)

que relaciona a quantidade de calor $Q$ que um corpo de massa $m$ e calor específio $c$ recebe ( $Q > 0$ ) ou cede $(Q < 0)$ produzindo uma variação de temperatura $Δ θ$ .

Por outro lado, a potência $P$ pode ser relacionada com a energia entregue ao objeto na forma de calor $Q$ num tempo $Δ t$ por:

$P = \frac{Q}{Δ t} \Rightarrow$

$Q = P \cdot Δ t$ (2)

Igualando as equações (1) e (2):

$P \cdot Δ t = m \cdot c \cdot Δ θ$ (3)

Substituindo os dados na equação (3), incluindo as unidades de medidas para garantirmos que os dados estão nas unidades adequadas, temos:

$60 W \cdot 32 s = 200 g \cdot \frac{480 J}{kg \cdot ° C} \cdot Δ θ \Rightarrow$

$60 \frac{J}{s} \cdot 32 s = 0, 2 kg \cdot \frac{480 J}{kg \cdot ° C} \cdot Δ θ \Rightarrow$

$Δθ = 20 ° C .$

Questão 6 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Lançamento Vertical Trajetória Circular de uma Carga

Julho de 2019 marcou o cinquentenário da chegada do homem à Lua com a missão Apollo 11. As caminhadas dos astronautas em solo lunar, com seus demorados saltos, são imagens emblemáticas dessa aventura humana.

a) A aceleração da gravidade na superfície da Lua é $g_{L} = 1, 6 {m/s}^{2}$ . Calcule o tempo de queda de um corpo solto a partir do repouso de uma altura de 1,8 m com relação à superfície lunar.

b) A espectrometria de massas é uma técnica que pode ser usada na identificação de moléculas da atmosfera e do solo lunar. A figura abaixo mostra a trajetória (no plano do papel) de uma determinada molécula ionizada (carga $q = 1, 6 \times 10^{- 19} C$ ) que entra na região de campo magnético do espectrômetro, sombreada na figura, com velocidade de módulo $v = 3, 2 \times 10^{5} m/s$ . O campo magnético é uniforme e perpendicular ao plano do papel, dirigido de baixo para cima, e tem módulo $B = 0, 4 T$ . Como ilustra a figura, na região de campo magnético a trajetória é circular de raio $R = 36 cm$ , e a força centrípeta é dada pela força magnética de Lorentz, cujo módulo vale $F = q \cdot V \cdot B$ . Qual é a massa m da molécula?

Resolução

a) Sabendo a altura de queda e a aceleração da gravidade, podemos determinar o tempo de queda usando a equação horária da posição. Assim:

$s = s_{0} + v_{0} \cdot t + \frac{g \cdot t^{2}}{2} .$

Considerando como orientação positiva de cima para baixo, $s_{0} = 0$ , $s = 3 m$ e sabendo que o objeto partiu do repouso ( $t = 0$ ), temos:

$1, 8 = 0 + 0 \cdot t + \frac{1, 6 \cdot t^{2}}{2} \Rightarrow$

$36 = 16 \cdot t^{2} \Rightarrow \sqrt{36} = \sqrt{16 \cdot t^{2}} \Rightarrow$

$t = 1, 5 s pois t > 0 .$

b) Como a resultante das forças é centrípeta ( $F_{c p}$ ) e é devido à força de Lorentz ( $F_{m a g}$ ), podemos escrever que:

$F_{m a g} = F_{c p} \Rightarrow$

$q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^{2}}{R} \Rightarrow$

$m = \frac{q \cdot B \cdot R}{v} .$

Substituindo os dados nesta equação, temos:

$m = \frac{1, 6 \cdot 10^{- 19} \cdot 0, 4 \cdot 0, 36}{3, 2 \cdot 10^{5}} \Rightarrow$

$m = 7, 2 \cdot 10^{- 26} kg .$

Observe que substituimos todos os dados no Sistema Internacional (S.I.) e que apenas o raio não estava no S.I.

( $R = 36 cm = 0, 36 m$ ).