Questão 1 Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Impulso e Quantidade de Movimento

Estudos indicam que uma massa $m = 1000 kg$ de poeira cósmica, composta por minúsculas partículas, colide com a superfície da Terra a cada intervalo $Δ t = 20 \min$ . Considere, para simplificar, que as partículas de poeira têm velocidade média nula antes de serem arrastadas pela Terra no seu movimento em torno do Sol. Logo após colidirem com a superfície do nosso planeta, elas passam a se deslocar juntamente com a Terra, com velocidade média de módulo igual a $V_{T e r r a} = 30 km / s$ .Considere também que o movimento da Terra num intervalo $Δ t = 20 \min$ é retilíneo e uniforme.

a) Qual é a densidade da poeira na região do espaço atravessada pela Terra? Ver ilustração acima.
b) Qual é o módulo da força média aplicada pela Terra sobre a massa de poeira cósmica que ela intercepta durante um intervalo $Δ t = 20 \min$ ?

Resolução

a) O comprimento $L$ do cilindro atravessado pela Terra é igual a seu deslocamento no intervalo de tempo considerado, $Δ t = 20 \min = 1200 s$ , percorrido com velocidade $v = 30 km / s = 3 \cdot 10^{4} m / s$ . Como o movimento é uniforme, em unidades do S.I., vem que

$L = Δ s \Rightarrow L = v \cdot Δ t \Rightarrow L = 3 \cdot 10^{4} \cdot 1200 \Rightarrow L = 36 \cdot 10^{6} m .$

O volume do cilindro "varrido" pela Terra é, então,

$V = A \cdot L \Rightarrow V = 1, 25 \cdot 10^{14} \cdot 36 \cdot 10^{6} \Rightarrow V = 4, 5 \cdot 10^{21} m^{3} .$

Com isso, a densidade da poeira na região é

$ρ = \frac{m}{V} \Rightarrow ρ = \frac{1000}{4, 5 \cdot 10^{21}} \Rightarrow ρ = \frac{20}{9} \cdot 10^{- 19} kg / m^{3} ≅ 2, 2 \cdot 10^{- 19} kg / m^{3} .$

Outra resposta possível, expressando as distâncias em quilômetros, é

$ρ = \frac{20}{9} \cdot 10^{- 10} kg / {km}^{3} ≅ 2, 2 \cdot 10^{- 10} kg / {km}^{3} .$

b) A força aplicada pela Terra sobre a poeira é a responsável por fazê-la adquirir a mesma velocidade do planeta, 30 km/s. Desta forma, o impulso da força aplicada pela Terra é igual à variação da quantidade de movimento da poeira. Considerando a força média, aplicada pela Terra, de módulo $F_{m}$ , vem que

$\vec{I} = Δ \vec{Q} \Rightarrow F_{m} \cdot Δ t = m \cdot Δ v .$

Como a velocidade inicial $v_{0}$ da poeira é nula,

$Δ v = v - v_{0} = 3 \cdot 10^{4} m / s,$

então, com as grandezas em unidades do S.I.,

$F_{m} \cdot 1200 = 1000 \cdot 3 \cdot 10^{4} \Rightarrow F_{m} = 2, 5 \cdot 10^{4} N .$