Questão 2 Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Empuxo Arquimediano Energia Potencial Gravitacional na Dinâmica

Um densímetro de posto de combustível, usado para analisar o etanol, consiste de um tubo de vidro que fica parcialmente submerso no etanol. O peso do tubo é fixo, de forma que o volume do tubo que fica submerso depende da densidade do etanol. Uma escala na parte superior do tubo indica o valor da densidade medida.

a) O etanol combustível é hidratado, ou seja, contém uma porcentagem de água. A figura acima ilustra duas medidas de densidade de etanol. A primeira é de uma amostra de etanol hidratado dentro da especificação, cujo valor é $ρ_{1} = 0, 810 g / {cm}^{3} .$ Nessa medida, o volume submerso do densímetro é $V_{1}$ . A segunda medida, realizada com o mesmo densímetro, é de uma amostra fora da especificação e, nesse caso, o volume submerso do densímetro é $V_{2}$ . A diferença dos volumes submersos é de 10% de $V_{1}$ , ou seja, $Δ V = V_{1} - V_{2} = 0, 1 V_{1}$ . Qual é a densidade $ρ_{2}$ da segunda amostra?

b) Num posto de combustível, a gasolina é bombeada do reservatório subterrâneo até o tanque do veículo, numa altura $h = 3, 0 m$ acima do nível superior do reservatório. A gasolina, que é sempre retirada da parte superior do reservatório, encontra-se inicialmente parada e é despejada no tanque do veículo a uma velocidade $v = 0, 8 m / s$ . Qual é o aumento da energia mecânica da gasolina proporcionado pela bomba ao encher um tanque de volume $V = 40 litros$ ?
Dado: $ρ_{g a s o l i n a} = 0, 75 g / {cm}^{3}$ .

Resolução

a) A fim de que o densímetro fique parcialmente submerso nos fluidos sem tocar o fundo do recipiente, a força de empuxo aplicada por cada fluido deve ter módulo $E$ igual ao do peso $P$ do objeto. Na primeira medida, o volume $V_{1}$ encontra-se submerso na amostra; na segunda medida, o volume submerso vale

$V_{1} - V_{2} = 0, 1 \cdot V_{1} \Rightarrow V_{2} = 0, 9 \cdot V_{1} .$

Seja $E_{1}$ o módulo do empuxo produzido pela amostra de densidade $ρ_{1}$ quando o volume $V_{1}$ encontra-se submerso, e $E_{2}$ o análogo relativo à segunda medida, temos que

$E_{1} = E_{2} \Rightarrow ρ_{1} \cdot V_{1} \cdot g = ρ_{2} \cdot V_{2} \cdot g \Rightarrow 0, 81 \cdot V_{1} = ρ_{2} \cdot 0, 9 \cdot V_{1} \Rightarrow ρ_{2} = 0, 9 g / {cm}^{3} .$

b) O volume de gasolina que será movimentado pela bomba é de

$V = 40 L = 40 \cdot 10^{3} {cm}^{3},$

portanto a massa de gasolina, de densidade $ρ_{g a s o l i n a} = 0, 75 g / {cm}^{3}$ , que será levada ao tanque do veículo é

$m = ρ_{g a s o l i n a} \cdot V \Rightarrow m = 0, 75 \cdot 40 \cdot 10^{3} \Rightarrow m = 30 \cdot 10^{3} g = 30 kg .$

O aumento de energia mecânica se deve ao aumento da energia potencial gravitacional e ao aumento da energia cinética da gasolina. Para a energia potencial gravitacional, em unidades do S.I.,

$Δ E_{P O T} = m \cdot g \cdot Δ h \Rightarrow Δ E_{P O T} = 30 \cdot 10 \cdot 3 = 900 J .$

Como a gasolina está em repouso no tanque, $v_{0} = 0$ , e a variação da energia cinética é igual à energia cinética final. Assim, também em unidades do S.I.,

$Δ E_{C I N} = E_{C I N, F} - E_{C I N, I} \Rightarrow Δ E_{C I N} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2} - 0 \Rightarrow Δ E_{C I N} = \frac{1}{2} 30 \cdot 0, 8^{2} \Rightarrow Δ E_{C I N} = 9, 6 J .$

Logo, a variação de energia mecânica é de

$Δ E_{M E C} = Δ E_{P O T} + Δ E_{C I N} \Rightarrow Δ E_{M E C} = 900 + 9, 6 \Rightarrow Δ E_{M E C} = 909, 6 J .$

A variação ser positiva indica que houve aumento da energia mecânica, tal como o enunciado da questão sugere.