Questão 6 Unicamp 2020 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Lançamento Vertical Trajetória Circular de uma Carga

Julho de 2019 marcou o cinquentenário da chegada do homem à Lua com a missão Apollo 11. As caminhadas dos astronautas em solo lunar, com seus demorados saltos, são imagens emblemáticas dessa aventura humana.

a) A aceleração da gravidade na superfície da Lua é $g_{L} = 1, 6 {m/s}^{2}$ . Calcule o tempo de queda de um corpo solto a partir do repouso de uma altura de 1,8 m com relação à superfície lunar.

b) A espectrometria de massas é uma técnica que pode ser usada na identificação de moléculas da atmosfera e do solo lunar. A figura abaixo mostra a trajetória (no plano do papel) de uma determinada molécula ionizada (carga $q = 1, 6 \times 10^{- 19} C$ ) que entra na região de campo magnético do espectrômetro, sombreada na figura, com velocidade de módulo $v = 3, 2 \times 10^{5} m/s$ . O campo magnético é uniforme e perpendicular ao plano do papel, dirigido de baixo para cima, e tem módulo $B = 0, 4 T$ . Como ilustra a figura, na região de campo magnético a trajetória é circular de raio $R = 36 cm$ , e a força centrípeta é dada pela força magnética de Lorentz, cujo módulo vale $F = q \cdot V \cdot B$ . Qual é a massa m da molécula?

Resolução

a) Sabendo a altura de queda e a aceleração da gravidade, podemos determinar o tempo de queda usando a equação horária da posição. Assim:

$s = s_{0} + v_{0} \cdot t + \frac{g \cdot t^{2}}{2} .$

Considerando como orientação positiva de cima para baixo, $s_{0} = 0$ , $s = 3 m$ e sabendo que o objeto partiu do repouso ( $t = 0$ ), temos:

$1, 8 = 0 + 0 \cdot t + \frac{1, 6 \cdot t^{2}}{2} \Rightarrow$

$36 = 16 \cdot t^{2} \Rightarrow \sqrt{36} = \sqrt{16 \cdot t^{2}} \Rightarrow$

$t = 1, 5 s pois t > 0 .$

b) Como a resultante das forças é centrípeta ( $F_{c p}$ ) e é devido à força de Lorentz ( $F_{m a g}$ ), podemos escrever que:

$F_{m a g} = F_{c p} \Rightarrow$

$q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^{2}}{R} \Rightarrow$

$m = \frac{q \cdot B \cdot R}{v} .$

Substituindo os dados nesta equação, temos:

$m = \frac{1, 6 \cdot 10^{- 19} \cdot 0, 4 \cdot 0, 36}{3, 2 \cdot 10^{5}} \Rightarrow$

$m = 7, 2 \cdot 10^{- 26} kg .$

Observe que substituimos todos os dados no Sistema Internacional (S.I.) e que apenas o raio não estava no S.I.

( $R = 36 cm = 0, 36 m$ ).