Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2

a) Podemos notar que a região I é formada por um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 50m e um de seus catetos mede 40m, conforme mostra a figura a seguir:

Assim, pelo teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida do outro cateto desse triângulo. Sendo essa medida igual a x, temos:

$x^2+{40}^2={50}^2\Rightarrow x=30 \text{m}$

E, portanto, a área da região I é:

$\boxed{S_I=\frac{30·40}{2}=600{\text{ m}}^2}$

b) Podemos notar que a área da região II pode ser obtida pela subtração de dois trapézios retângulos, indicados na cor vermelha abaixo, do retângulo total do estacionamento.

Como as regiões I e III são formadas por triângulos retângulos de hipotenusa 50m e um dos catetos de medida igual a 40m, então, pelo caso cateto-hipotenusa essas regiões são congruentes. Deste modo, podemos notar que as bases maiores do trapézios assinalados acima são congruentes e com medidas iguais a 30 m, conforme calculado no item anterior. 

Portanto, a área da região II é:

$S_{II}=40·100-\frac{\left(10+30\right)·40}{2}-\frac{\left(5+30\right)·40}{2}\iff \boxed{S_{II}=4000-800-700=2500 {\text{m}}^2}$

c) A região que não é vigiada é formada por dois triângulos: um deles de base medindo 5m e altura igual a 40m e outro de base igual a 10m e altura igual a 40m. Assim, temos que a região não vigiada possui área igual a:

$S_{nv}=\frac{5·40}{2}+\frac{10·40}{2}=100+200=300{\text{ m}}^2$

Logo, a porcentagem (p) que a região não vigiada representa do todo é:

$\boxed{p=\frac{300}{100·40}=\frac{3}{40}=0,075=7,5\%}$

a) A equação da reta com coeficiente angular $m$ passando pelo ponto $P\left(x_0,y_0\right)$ é dada por

$y-y_0=m\left(x-x_0\right)$

Para duas retas serem paralelas é necessário que elas possuam o mesmo coeficiente angular $m$.

Então, para determinar o coeficiente angular da reta pedida, devemos calcular o coeficiente angular da reta que passa por $P_1$ e $P_4$ :

$m=\frac{∆y}{∆x}=\frac{5-3}{-2-3}=-\frac{2}{5}$

Substituindo este valor e as coordenadas de $P_3\left(3,-1\right)$ na equação da reta, obtemos:

$y+1=-\frac{2}{5}\left(x-3\right) \Rightarrow 5y+5=-2x+6$

que é equivalente a

$\boxed{2x+5y-1=0}$

b) A circunferência pedida é a circunferência circunscrita ao triângulo de vértices em $P_1, P_2$ e $P_3$, cujo centro - o circuncentro - é o encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.

Para determinar as coordenadas do centro $C\left(x_C,y_C\right)$, vamos considerar a mediatriz do lado $P_1{P}_3$.

Uma vez que $P_1$ e $P_3$ estão na mesma reta vertical $x=3$, a mediatriz do lado $P_1{P}_3$ é uma reta horizontal (então tem a forma $y=\text{constante}$) passando pelo seu ponto médio.

As coordenadas do ponto médio de um segmento são obtidas através da média aritmética das respectivas coordenadas das extremidades do segmento:

$M=\left(\frac{x_1+x_3}{2},\frac{y_1+y_3}{2}\right)=\left(\frac{3+3}{2},\frac{3-1}{2}\right)=\left(3,1\right)$

Concluímos então, que a mediatriz do segmento $P_1{P}_3$ deve ser $y=\text{constante}=1$. Como o centro da circunferência pertence a essa mediatriz, a sua coordenada $y_C$ deve valer 1.

A partir desta informação, podemos usar que a distância do centro $C$ ao ponto $P_1$ é igual à distância do ponto $C$ ao ponto $P_3$:

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(x_C-3\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_C-5\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2} \Rightarrow {\left(x_C-3\right)}^2+4={\left(x_C-5\right)}^2 \\ \Rightarrow \cancel{{x_C}^2}-6x_C+9+4=\cancel{{x_C}^2}-10x_C+25 \\ \Rightarrow 4x_C=12 \Rightarrow x_C=3 \end{gathered}$$

Logo, o centro da circunferência é o ponto $\left(3,1\right)$.

Para determinar a circunferência completamente, basta determinar seu raio $r$. Ora, o raio é a distância do centro a um dos pontos da circunferência. Calculando a distância do centro a $P_1$, obtemos:

$r=\sqrt{{\left(3-3\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=2$

Lembrando que a equação da circunferência é da forma

${\left(x-x_C\right)}^2+{\left(y-y_C\right)}^2=r^2$

para os valores obtidos, temos

$\boxed{{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4}$

c) Note que os pontos de interseção da circunferência com o eixo $x$ têm coordenada $y=0$. Substituindo esta condição na equação da circunferência, obtemos:

${\left(x-3\right)}^2+{\left(0-1\right)}^2=4\Rightarrow {\left(x-3\right)}^2=3\Rightarrow x-3=\pm \sqrt{3}\Rightarrow x=3\pm \sqrt{3}$

O ponto $P$ é o mais próximo da origem, daí que devemos considerar $x=3-\sqrt{3}$ e

$P\left(3-\sqrt{3},0\right)$

Este ponto $P$ é o ponto de tangência da circunferência com a reta procurada. Lembrando que reta tangente é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência, podemos encontrar o coeficiente angular deste raio (que chamaremos de $m_{CP}$) e, sabendo que o coeficiente angular da reta perpendicular (que chamaremos de $m_t$) deve ser o oposto e inverso a este cooeficiente, poderemos encontar a equação da reta procurada:

$m_{CP}=\frac{y_P-y_C}{x_P-x_C}=\frac{0-1}{3-\sqrt{3}-3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Logo, o coeficiente da reta tangente deverá ser

$m_t=-\frac{1}{m_{CP}}=-\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}=-\sqrt{3}$

Substituindo este valor e as coordenadas de $P$ na equação da reta obtemos:

$t: y-0=-\sqrt{3}\left(x-3+\sqrt{3}\right)$

Logo, a equação da reta procurada é:

$\boxed{y=-\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-3}$

a) Multiplicando a primeira linha do sistema por $\frac{p}{2}$ e subtraindo a segunda, temos

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=5 \times \frac{p}{2}\\ px+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\cancel{px}+\frac{3py}{2}=\frac{5p}{2}\\ \cancel{px}+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow y·\left(\frac{3p}{2}-q\right)=\frac{5p}{2}-2$

Assim, para que o sistema acima seja possível e indeterminado é necessário que:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{5p}{2}-2=0\\ \frac{3p}{2}-q=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{5p}{2}=2\\ \frac{3p}{2}=q\end{array}\right.\Rightarrow \boxed{\left\{\begin{array}{l}p=\frac{4}{5}\\ q=\frac{6}{5}\end{array}\right.}$

OBS: O candidato poderia utilizar os conceitos de geometria analítica para resolver este item. As duas equações do sistema linear representam retas no plano cartesiano e para que tenhamos infinitas soluções, as retas devem ser coincidentes (já que a intersecção entre retas coincidentes é a própria reta e, portanto, infinitos pontos satisfazem o sistema), assim, podemos observar através do termo independente da primeira reta que multiplicando a primeira equação por $\frac{2}{5}$, teríamos:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{5}x+\frac{6}{5}y=2\\ px+qy=2\end{array}\right.$

E para que as retas sejam coincidentes, os coeficientes de x em ambas devem ser iguais bem como os coeficientes de y, visto que os termos independentes são iguais. Assim,

$\boxed{\left\{\begin{array}{l}p=\frac{4}{5}\\ q=\frac{6}{5}\end{array}\right.}$

b) Para $x=0$, temos:

$\left\{\begin{array}{l}2·0+3y=5\\ p·0+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3y=5\\ qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\frac{5}{3}\\ qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\frac{5}{3}\\ \frac{5q}{3}=2\end{array}\right.\Rightarrow q=\frac{6}{5}$

Note, então, que para que o sistema tenha solução com $x=0$, $\boxed{q=\frac{6}{5}}$ e $\boxed{p\in \mathrm{ℝ}}$

c) Analogamente ao item a, escalonando o sistema, temos:

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=5 \times \frac{p}{2}\\ px+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\cancel{px}+\frac{3py}{2}=\frac{5p}{2}\\ \cancel{px}+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow y·\left(\frac{3p}{2}-q\right)=\frac{5p}{2}-2$

Assim, para que não tenhamos solução (ou seja, esse sistema seja impossível), é necessário que:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{5p}{2}-2\ne 0\\ \frac{3p}{2}-q=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{5p}{2}\ne 2\\ \frac{3p}{2}=q\end{array}\right.\Rightarrow \boxed{\left\{\begin{array}{l}p\ne \frac{4}{5}\\ q=\frac{3p}{2}\end{array}\right.}$

a) Precisamos contabilizar de quantas formas podemos escolher 4 dentre as 24 indústrias sem nenhuma restrição. Como se trata de uma escolha em que a ordem não importa, essas possibilidades são dadas por uma combinação simples:

$\left(\begin{array}{c}24\\ 4\end{array}\right)=\frac{24!}{4!20!}=\frac{24·23·22·21.\cancel{20!}}{4!\cancel{20!}}=\frac{\sout{24}·23·22·21}{\sout{4·3·2·1}}=10.626$

b) No primeiro dia são gastos 6 kits, ou seja, no segundo dia precisarão ser gastos $22-6=16$ kits.

Ora, cada um dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia usarão 4 kits no segundo dia logo, para que sejam utilizados 16 kits, 4 grupos precisarão ser apontados como contaminados.

O número de possibilidades de 4 entre os 6 grupos serem apontados como contaminados é também dado por uma combinação simples:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6·5·\cancel{4!}}{\cancel{4!}2!}=15$

Além disso, o enunciado pede o caso em que há exatamente 4 indústrias irregulares dentro desses 4 grupos. Para que isso aconteça, cada grupo deve possuir apenas uma indústria irregular.

Note que em cada um dos grupos contaminados há 4 possibilidades para a indústria irregular.

Suponha então que os grupos contaminados foram A, B, C e D. Então há 4 possibilidades em cada uma delas para a indústria irregular:

$\frac{4}{A} \frac{4}{B} \frac{4}{C} \frac{4}{D}=256$

Mas como já foi comentado, não necessariamente os 4 grupos são A, B, C e D, há 15 maneiras de serem determinados esses 4 grupos. Temos então

$15·256=3840$

possibilidades de que haja 4 indústrias irregulares distribuídas em 4 grupos.

A probabilidade de um evento é dada pela razão entre o número de possibilidades do evento (favoráveis) e o número de possibilidades totais (espaço amostral).

Neste caso, temos 3840 casos favoráveis, que satisfazem as condições do item b) e 10626 casos totais (encontrados no item a)), que são de quantas maneiras, sem restrições, essas 4 indústrias irregulares podem estar distribuídas entre as 24. Logo, a probabilidade é dada por:

$P=\frac{\text{possibilidades favoráveis}}{\text{possibilidades totais}}=\frac{3840}{10626}=\boxed{\frac{640}{1771}}$

c) Novamente, no primeiro dia, são gastos 6 kits, daí que neste caso, no segundo dia podem ser gastos, no máximo, $14-6=8$ kits.

Observe que se dois grupos forem apontados como irregulares, serão gastos os 8 kits no segundo dia e se apenas um for apontado como irregular, serão usados apenas 4.

Temos então duas possibilidades:

I) 2 grupos são indicados como contaminados

II) 1 grupo é indicado como contaminado

Analisemos a primeira possibilidade:

I)

Temos

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=\frac{6!}{2!4!}=\frac{6·5·\cancel{4!}}{2!\cancel{4!}}=15$

maneiras de ter 2 entre os 6 grupos marcados como contaminados.

Além disso, as 4 indústrias terão que estar distribuídas entre esses 2 grupos.

Suponha, por exemplo, que os grupos são A e B:

• podemos ter 2 irregulares em A e 2 em B. Ou seja, das 4 indústrias possíveis no grupo A, temos

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4·3·\cancel{2!}}{2!\cancel{2!}}=6$

maneiras de termos 2 irregulares e o mesmo vale para o grupo B. Assim, temos $6·6=36$ formas de classificar 2 dentre 4 indústrias como irregulares no grupo A e no grupo B.

• Podemos ter 3 irregulares em A e 1 em B. Neste caso temos

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\frac{4!}{3!1!}=\frac{4·\cancel{3!}}{\cancel{3!}}=4$

maneiras de ter 3 irregulares dentre as 4 do grupo A e

$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=\frac{4!}{1!3!}=\frac{4·\cancel{3!}}{\cancel{3!}}=4$

maneiras de ter 1 irregular dentre as 4 do grupo B. Totalizando $4·4=16$ maneiras de ter 3 irregulares em A e 1 irregular em B.

No entanto, note que poderia ser o contrário: 3 irregulares em B e 1 em A, fazendo com que esta possibilidade englobe $32$ maneiras de distribuir as indústrias irregulares nos grupos A e B.

De acordo com o discutido, temos $36+32=68$ maneiras de distribuir 4 indústrias irregulares nos grupos A e B.

Como a escolha dos grupos pode ser feita de 15 maneiras diferentes, temos para essa possibilidade I),

$15·68=1020$

maneiras de distribuir 4 indústrias entre os 2 grupos contaminados.

Analisemos agora a possibilidade II):

Sendo apenas um grupo contaminado, temos

$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=\frac{6!}{5!1!}=\frac{6·\cancel{5!}}{\cancel{5!}}=6$

possibilidades de selecionar tal grupo.

Uma vez que o grupo possui 4 indústrias e devemos ter 4 irregulares, o grupo todo deve ser irregular, não havendo outras possibilidades.

Ou seja, este caso tem apenas 6 maneiras de acontecer.

Assim, os casos favoráveis do item c) são os descritos em I) ou II), totalizando $1020+6=1026$ dentre o total de $10626$, obtido em a).

Daí que a probabilidade é dada por

$\frac{1026}{10626}=\boxed{\frac{171}{1771}}$

a) Observe o retângulo $ABCD$ a seguir:

Seu perímetro $2p$ é

$2p=2·3+2·4=\boxed{14m}$

Em um retângulo, cada vértice pode se ligar aos dois vizinhos, dando origem aos lados ou ao vértice não vizinho dando origem a uma diagonal.

Observe que a diagonal do retângulo é sempre maior que seus lados por se tratar da hipotenusa de um triângulo retângulo que tem os lados do retângulo como catetos. Desta forma, o diâmetro do retângulo é o comprimento de suas diagonais.

Para determinar este comprimento, observe a figura a seguir:

Temos, do Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo $BCD$, que

$x^2=3^2+4^2 \Rightarrow \boxed{x=5m}$

Logo, a razão entre o perímetro e o diâmetro é:

$\boxed{\frac{2p}{x}=\frac{14}{5}}$

b) Comecemos calculando a medida dos lados $BC$ e $AB$ do triângulo.

Observe que quando consideramos o triângulo retângulo com catetos pontilhados da Figura 1 temos, pelo Teorema de Pitágoras, que:

$B{C}^2={\mathcal{l}}^2+{\mathcal{l}}^2 \Rightarrow \boxed{BC=\mathcal{l}\sqrt{2}}$

Quando consideramos o triângulo retângulo maior, de catetos $\mathcal{l}$ e $2\mathcal{l}$, obtemos, também pelo Teorema de Pitágoras, que

$A{B}^2={\mathcal{l}}^2+{\left(2\mathcal{l}\right)}^2 ={\mathcal{l}}^2+4{\mathcal{l}}^2=5{\mathcal{l}}^2\Rightarrow \boxed{AB=\mathcal{l}\sqrt{5}}$

Portanto, o perímetro $2p$ do triângulo $ABC$ é:

$2p=\mathcal{l}+\mathcal{l}\sqrt{2}+\mathcal{l}\sqrt{5}$

Já o diâmetro é dado pelo maior destes segmentos, que é $AB=\mathcal{l}\sqrt{5}$ . Daí que a razão entre o perímetro e o diâmetro é:

$\frac{2p}{AB}=\frac{\cancel{\mathcal{l}}+\cancel{\mathcal{l}}\sqrt{2}+\cancel{\mathcal{l}}\sqrt{5}}{\cancel{\mathcal{l}}\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\boxed{\frac{{\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{10}+5}}{5}}$

c) Sugerimos anulação do item. Observe que o contorno da figura é formado por um arco e um segmento de reta. 

Para determinar tais comprimentos, em particular, para determinar o comprimento do arco, é necessário conhecer sua medida, ou seja, a medida do ângulo central que o subentende ($120°+\theta$ na figura a seguir). 

No entanto, a figura só deixa indicado parte do ângulo central $120°$ e destaca alguns segmentos de comprimento $r$ , mas não fornece informações suficientes para que possamos concluir a medida de $\theta$ , e sem este valor não é possível resolver o exercício. Assim, consideramos que este item é passível de anulação

Vamos então assumir (conforme aparenta a figura, apesar de não termos garantia alguma de que isso seja verdade) que o segmento que compõe o contorno é perpendicular ao segmento horizontal 

Neste caso, os triângulos $MPN$ e $MPO$ são congruentes pelo caso hipotenusa-cateto e portanto, $N\hat{M}P=P\hat{M}O=60°$ daí que $N\hat{M}O=120°$ e, para completar a volta de $360°$, $\theta =120°$.

Assim, o comprimento do arco $\stackrel{⏜}{NO}$ é dado por

$C=2\mathrm{\pi r}.\frac{120°+\mathrm{\theta }}{360°}=2\mathrm{\pi r}.\frac{240°}{360°}=\frac{4}{3}\mathrm{\pi r}$

Para determinar o comprimento do segmento $\overline{NO}$, podemos aplicar a Lei dos cossenos ao triângulo $MNO$:

$N{O}^2=r^2+r^2-2·r·r·\underset{-\frac{1}{2}}{\underbrace{\cos \left(120°\right)}}=3r^2 \Rightarrow NO=r\sqrt{3}$

Logo, o perímetro deste contorno é $\frac{4}{3}\mathrm{\pi r}+\mathrm{r}\sqrt{3}$.

Como esta região engloba um diâmetro da circunferência (que é a sua maior corda), seu diâmetro é $2r$ e a razão pedida é:

$\frac{2p}{2r}=\frac{\frac{4}{3}\mathrm{\pi r}+\mathrm{r}\sqrt{3}}{2\mathrm{r}}=\frac{2}{3}\mathrm{\pi }+\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{2}=\boxed{\frac{4\mathrm{\pi }+3\sqrt{3}}{6}}$

a) Pelo enunciado, a função f é tal que:

$f\left(x\right)=1+\cos \left(x-1\right)$

Tomemos a função g, tal que:

$g\left(x\right)=\cos \left(x-1\right)$

É sabido que o cosseno tem valor mínimo igual a -1 e valor máximo igual a 1, assim:

$-1\le \cos \left(x-1\right)\le 1$

Somando uma unidade à inequação acima, temos:

$0\le \underset{f\left(x\right)}{\underbrace{1+\cos \left(x-1\right)}}\le 2\iff 0\le f\left(x\right)\le 2$

Portanto, quando $p=q=r=s=1$, o valor máximo da função f é tal que:

$\boxed{máx\left(f\right)=2}$

b) Pelo enunciado, a função f é tal que:

$f\left(x\right)=-1+2·\cos \left(\mathrm{\pi }·x\right)$

É sabido que o período da função $g\left(x\right)=p+q·\cos \left(rx-s\right)$ é tal que:

$T=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|r\right|}$

Assim, o período da função f é:

$T=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|\mathrm{\pi }\right|}\iff \boxed{T=2}$

Analogamente ao item a) determinaremos o conjunto imagem da função f. Assim, temos:

$-1\le \cos \left(\mathrm{\pi }·x\right)\le 1$

Multiplicando a inequação por 2, temos:

$-2\le 2·\cos \left(\mathrm{\pi }·x\right)\le 2$

Subtraindo uma unidade, temos:

$-3\le \underset{f\left(x\right)}{\underbrace{-1+2·\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)}}\le 1\iff -3\le f\left(x\right)\le 1$

Logo, a amplitude de f, que é dada pela diferença entre seu máximo e seu mínimo, é:

$\boxed{A=1-\left(-3\right)=4}$

c) Dada a função $f\left(x\right)=p+q·\cos \left(rx-s\right)$, podemos relembrar os tipos de movimentos que são obtidos através dos parâmetros p, q, r e s.

O parâmetro p é responsável por transladar verticalmente a função.

O parâmetro q é responsável por uma dilatação vertical.

O parâmetro r é responsável por uma dilatação horizontal (responsável por modificar o período).

E o parâmetro s é responsável por uma translação horizontal.

Deste modo, observando o gráfico, temos:

Podemos observar que o máximo que a função assume é 3 e o mínimo é -2. Lembrando que o máximo que o cosseno assume é 1 e o mínimo que ele assume é -1, então substituindo, temos:

Para $\cos \left(rx-s\right)=1$.

$3=p+q·1$

Para $\cos \left(rx-s\right)=-1$.

$-2=p+q·\left(-1\right)\iff -2=p-q$

Montando o sistema, temos:

$\left\{\begin{array}{l}3=p+q\\ -2=p-q\end{array}\right.\iff 2p=1\iff \boxed{p=\frac{1}{2}}\iff \boxed{q=\frac{5}{2}}$

Ou seja, houve uma dilatação de fator $\frac{5}{2}$ na vertical, seguido de uma translação vertical para cima de $\frac{1}{2}$.

Observando agora os movimentos horizontais, temos que o período da função é igual a 4 (medida do segmento AB). Assim,

$T=4\Rightarrow \frac{2\mathrm{\pi }}{\left|r\right|}=4\Rightarrow r=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Assim, para $\boxed{r=\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$, houve uma dilatação horizontal de fator $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Assim, teríamos o gráfico abaixo:

Note, porém, que o máximo da função acima se dá para $x=0$ enquanto o máximo da função f se dá para $x=\frac{3}{2}$. Assim, houve uma translação horizontal de $\frac{3}{2}$ para a direita. Assim, temos que:

$$\begin{gathered} \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}·\frac{3}{2}-s\right)=1\Rightarrow \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}·\frac{3}{2}-s=0+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}·\frac{3}{2}-2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}=s, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow \\ \boxed{s=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}-2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}} \end{gathered}$$

Então, temos que $\boxed{p=\frac{1}{2}, q=\frac{5}{2}, r=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\text{ e }s=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$ satisfazem as condições do gráfico acima.

OBS: Observe que como a função cosseno é periódica, o candidato poderia utilizar infinitos valores de s junto aos valores de p, q e r acima citados. Bem como, no caso onde $\boxed{r=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$, teríamos infinitos outros valores de s que satisfariam a condição de máximo acima citada.

Cabe ressaltar, também, que o sistema resolvido para p e q acima poderia ser:

$\left\{\begin{array}{l}-2=p+q\\ 3=p-q\end{array}\right.\iff 2p=1\iff \boxed{p=\frac{1}{2}}\iff \boxed{q=-\frac{5}{2}}$

Sistema esse que encontraríamos um valor distinto para q.

Cabe pontuar que o enunciado solicita ao candidato que ele encontre valores que satisfaçam a condição descrita no gráfico, assim, poderiam ser escolhidos quaisquer um dos valores propostos acima.