Questão 4 Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Probabilidade

Um parque industrial com 24 indústrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um serviço de inspeção no ponto O detectou uma substância proibida que pode ter vindo de qualquer uma das indústrias, com igual probabilidade. Para autuar as indústrias irregulares, o serviço se decidiu pela seguinte estratégia: usar 6 kits de teste em amostras coletadas nos pontos A, B, C, D, E e F, no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas saídas de todas as indústrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia. Um dos cenários examinados pelo serviço de inspeção foi o de haver exatamente quatro indústrias irregulares.

a) Quantas são as formas possíveis de exatamente quatro indústrias irregulares estarem distribuídas entre as 24 indústrias do parque?

b) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22?

c) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes usados nos dois dias seja 14 ou menos?

Resolução

a) Precisamos contabilizar de quantas formas podemos escolher 4 dentre as 24 indústrias sem nenhuma restrição. Como se trata de uma escolha em que a ordem não importa, essas possibilidades são dadas por uma combinação simples:

$(\begin{matrix} 24 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{24!}{4! 20!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 . 20!}{4! 20!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10.626$

b) No primeiro dia são gastos 6 kits, ou seja, no segundo dia precisarão ser gastos $22 - 6 = 16$ kits.

Ora, cada um dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia usarão 4 kits no segundo dia logo, para que sejam utilizados 16 kits, 4 grupos precisarão ser apontados como contaminados.

O número de possibilidades de 4 entre os 6 grupos serem apontados como contaminados é também dado por uma combinação simples:

$(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{6!}{4! 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! 2!} = 15$

Além disso, o enunciado pede o caso em que há exatamente 4 indústrias irregulares dentro desses 4 grupos. Para que isso aconteça, cada grupo deve possuir apenas uma indústria irregular.

Note que em cada um dos grupos contaminados há 4 possibilidades para a indústria irregular.

Suponha então que os grupos contaminados foram A, B, C e D. Então há 4 possibilidades em cada uma delas para a indústria irregular:

$\frac{4}{A} \frac{4}{B} \frac{4}{C} \frac{4}{D} = 256$

Mas como já foi comentado, não necessariamente os 4 grupos são A, B, C e D, há 15 maneiras de serem determinados esses 4 grupos. Temos então

$15 \cdot 256 = 3840$

possibilidades de que haja 4 indústrias irregulares distribuídas em 4 grupos.

A probabilidade de um evento é dada pela razão entre o número de possibilidades do evento (favoráveis) e o número de possibilidades totais (espaço amostral).

Neste caso, temos 3840 casos favoráveis, que satisfazem as condições do item b) e 10626 casos totais (encontrados no item a)), que são de quantas maneiras, sem restrições, essas 4 indústrias irregulares podem estar distribuídas entre as 24. Logo, a probabilidade é dada por:

$P = \frac{possibilidades favoráveis}{possibilidades totais} = \frac{3840}{10626} = \frac{640}{1771}$

c) Novamente, no primeiro dia, são gastos 6 kits, daí que neste caso, no segundo dia podem ser gastos, no máximo, $14 - 6 = 8$ kits.

Observe que se dois grupos forem apontados como irregulares, serão gastos os 8 kits no segundo dia e se apenas um for apontado como irregular, serão usados apenas 4.

Temos então duas possibilidades:

I) 2 grupos são indicados como contaminados

II) 1 grupo é indicado como contaminado

Analisemos a primeira possibilidade:

Temos

$(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{6!}{2! 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! 4!} = 15$

maneiras de ter 2 entre os 6 grupos marcados como contaminados.

Além disso, as 4 indústrias terão que estar distribuídas entre esses 2 grupos.

Suponha, por exemplo, que os grupos são A e B:

podemos ter 2 irregulares em A e 2 em B. Ou seja, das 4 indústrias possíveis no grupo A, temos

$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{4!}{2! 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! 2!} = 6$

maneiras de termos 2 irregulares e o mesmo vale para o grupo B. Assim, temos $6 \cdot 6 = 36$ formas de classificar 2 dentre 4 indústrias como irregulares no grupo A e no grupo B.

Podemos ter 3 irregulares em A e 1 em B. Neste caso temos

$(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{4!}{3! 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4$

maneiras de ter 3 irregulares dentre as 4 do grupo A e

$(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{4!}{1! 3!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4$

maneiras de ter 1 irregular dentre as 4 do grupo B. Totalizando $4 \cdot 4 = 16$ maneiras de ter 3 irregulares em A e 1 irregular em B.

No entanto, note que poderia ser o contrário: 3 irregulares em B e 1 em A, fazendo com que esta possibilidade englobe $32$ maneiras de distribuir as indústrias irregulares nos grupos A e B.

De acordo com o discutido, temos $36 + 32 = 68$ maneiras de distribuir 4 indústrias irregulares nos grupos A e B.

Como a escolha dos grupos pode ser feita de 15 maneiras diferentes, temos para essa possibilidade I),

$15 \cdot 68 = 1020$

maneiras de distribuir 4 indústrias entre os 2 grupos contaminados.

Analisemos agora a possibilidade II):

Sendo apenas um grupo contaminado, temos

$(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{6!}{5! 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$

possibilidades de selecionar tal grupo.

Uma vez que o grupo possui 4 indústrias e devemos ter 4 irregulares, o grupo todo deve ser irregular, não havendo outras possibilidades.

Ou seja, este caso tem apenas 6 maneiras de acontecer.

Assim, os casos favoráveis do item c) são os descritos em I) ou II), totalizando $1020 + 6 = 1026$ dentre o total de $10626$ , obtido em a).

Daí que a probabilidade é dada por

$\frac{1026}{10626} = \frac{171}{1771}$