Questão 5 Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2

a) Observe o retângulo $ABCD$ a seguir:

Seu perímetro $2p$ é

$2p=2·3+2·4=\boxed{14m}$

Em um retângulo, cada vértice pode se ligar aos dois vizinhos, dando origem aos lados ou ao vértice não vizinho dando origem a uma diagonal.

Observe que a diagonal do retângulo é sempre maior que seus lados por se tratar da hipotenusa de um triângulo retângulo que tem os lados do retângulo como catetos. Desta forma, o diâmetro do retângulo é o comprimento de suas diagonais.

Para determinar este comprimento, observe a figura a seguir:

Temos, do Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo $BCD$, que

$x^2=3^2+4^2 \Rightarrow \boxed{x=5m}$

Logo, a razão entre o perímetro e o diâmetro é:

$\boxed{\frac{2p}{x}=\frac{14}{5}}$

b) Comecemos calculando a medida dos lados $BC$ e $AB$ do triângulo.

Observe que quando consideramos o triângulo retângulo com catetos pontilhados da Figura 1 temos, pelo Teorema de Pitágoras, que:

$B{C}^2={\mathcal{l}}^2+{\mathcal{l}}^2 \Rightarrow \boxed{BC=\mathcal{l}\sqrt{2}}$

Quando consideramos o triângulo retângulo maior, de catetos $\mathcal{l}$ e $2\mathcal{l}$, obtemos, também pelo Teorema de Pitágoras, que

$A{B}^2={\mathcal{l}}^2+{\left(2\mathcal{l}\right)}^2 ={\mathcal{l}}^2+4{\mathcal{l}}^2=5{\mathcal{l}}^2\Rightarrow \boxed{AB=\mathcal{l}\sqrt{5}}$

Portanto, o perímetro $2p$ do triângulo $ABC$ é:

$2p=\mathcal{l}+\mathcal{l}\sqrt{2}+\mathcal{l}\sqrt{5}$

Já o diâmetro é dado pelo maior destes segmentos, que é $AB=\mathcal{l}\sqrt{5}$ . Daí que a razão entre o perímetro e o diâmetro é:

$\frac{2p}{AB}=\frac{\cancel{\mathcal{l}}+\cancel{\mathcal{l}}\sqrt{2}+\cancel{\mathcal{l}}\sqrt{5}}{\cancel{\mathcal{l}}\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\boxed{\frac{{\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{10}+5}}{5}}$

c) Sugerimos anulação do item. Observe que o contorno da figura é formado por um arco e um segmento de reta. 

Para determinar tais comprimentos, em particular, para determinar o comprimento do arco, é necessário conhecer sua medida, ou seja, a medida do ângulo central que o subentende ($120°+\theta$ na figura a seguir). 

No entanto, a figura só deixa indicado parte do ângulo central $120°$ e destaca alguns segmentos de comprimento $r$ , mas não fornece informações suficientes para que possamos concluir a medida de $\theta$ , e sem este valor não é possível resolver o exercício. Assim, consideramos que este item é passível de anulação

Vamos então assumir (conforme aparenta a figura, apesar de não termos garantia alguma de que isso seja verdade) que o segmento que compõe o contorno é perpendicular ao segmento horizontal 

Neste caso, os triângulos $MPN$ e $MPO$ são congruentes pelo caso hipotenusa-cateto e portanto, $N\hat{M}P=P\hat{M}O=60°$ daí que $N\hat{M}O=120°$ e, para completar a volta de $360°$, $\theta =120°$.

Assim, o comprimento do arco $\stackrel{⏜}{NO}$ é dado por

$C=2\mathrm{\pi r}.\frac{120°+\mathrm{\theta }}{360°}=2\mathrm{\pi r}.\frac{240°}{360°}=\frac{4}{3}\mathrm{\pi r}$

Para determinar o comprimento do segmento $\overline{NO}$, podemos aplicar a Lei dos cossenos ao triângulo $MNO$:

$N{O}^2=r^2+r^2-2·r·r·\underset{-\frac{1}{2}}{\underbrace{\cos \left(120°\right)}}=3r^2 \Rightarrow NO=r\sqrt{3}$

Logo, o perímetro deste contorno é $\frac{4}{3}\mathrm{\pi r}+\mathrm{r}\sqrt{3}$.

Como esta região engloba um diâmetro da circunferência (que é a sua maior corda), seu diâmetro é $2r$ e a razão pedida é:

$\frac{2p}{2r}=\frac{\frac{4}{3}\mathrm{\pi r}+\mathrm{r}\sqrt{3}}{2\mathrm{r}}=\frac{2}{3}\mathrm{\pi }+\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{2}=\boxed{\frac{4\mathrm{\pi }+3\sqrt{3}}{6}}$