Questão 3 Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2

a) Multiplicando a primeira linha do sistema por $\frac{p}{2}$ e subtraindo a segunda, temos

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=5 \times \frac{p}{2}\\ px+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\cancel{px}+\frac{3py}{2}=\frac{5p}{2}\\ \cancel{px}+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow y·\left(\frac{3p}{2}-q\right)=\frac{5p}{2}-2$

Assim, para que o sistema acima seja possível e indeterminado é necessário que:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{5p}{2}-2=0\\ \frac{3p}{2}-q=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{5p}{2}=2\\ \frac{3p}{2}=q\end{array}\right.\Rightarrow \boxed{\left\{\begin{array}{l}p=\frac{4}{5}\\ q=\frac{6}{5}\end{array}\right.}$

OBS: O candidato poderia utilizar os conceitos de geometria analítica para resolver este item. As duas equações do sistema linear representam retas no plano cartesiano e para que tenhamos infinitas soluções, as retas devem ser coincidentes (já que a intersecção entre retas coincidentes é a própria reta e, portanto, infinitos pontos satisfazem o sistema), assim, podemos observar através do termo independente da primeira reta que multiplicando a primeira equação por $\frac{2}{5}$, teríamos:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{5}x+\frac{6}{5}y=2\\ px+qy=2\end{array}\right.$

E para que as retas sejam coincidentes, os coeficientes de x em ambas devem ser iguais bem como os coeficientes de y, visto que os termos independentes são iguais. Assim,

$\boxed{\left\{\begin{array}{l}p=\frac{4}{5}\\ q=\frac{6}{5}\end{array}\right.}$

b) Para $x=0$, temos:

$\left\{\begin{array}{l}2·0+3y=5\\ p·0+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3y=5\\ qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\frac{5}{3}\\ qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\frac{5}{3}\\ \frac{5q}{3}=2\end{array}\right.\Rightarrow q=\frac{6}{5}$

Note, então, que para que o sistema tenha solução com $x=0$, $\boxed{q=\frac{6}{5}}$ e $\boxed{p\in \mathrm{ℝ}}$

c) Analogamente ao item a, escalonando o sistema, temos:

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=5 \times \frac{p}{2}\\ px+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\cancel{px}+\frac{3py}{2}=\frac{5p}{2}\\ \cancel{px}+qy=2\end{array}\right.\Rightarrow y·\left(\frac{3p}{2}-q\right)=\frac{5p}{2}-2$

Assim, para que não tenhamos solução (ou seja, esse sistema seja impossível), é necessário que:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{5p}{2}-2\ne 0\\ \frac{3p}{2}-q=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{5p}{2}\ne 2\\ \frac{3p}{2}=q\end{array}\right.\Rightarrow \boxed{\left\{\begin{array}{l}p\ne \frac{4}{5}\\ q=\frac{3p}{2}\end{array}\right.}$