Questão 6 Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2

a) Pelo enunciado, a função f é tal que:

$f\left(x\right)=1+\cos \left(x-1\right)$

Tomemos a função g, tal que:

$g\left(x\right)=\cos \left(x-1\right)$

É sabido que o cosseno tem valor mínimo igual a -1 e valor máximo igual a 1, assim:

$-1\le \cos \left(x-1\right)\le 1$

Somando uma unidade à inequação acima, temos:

$0\le \underset{f\left(x\right)}{\underbrace{1+\cos \left(x-1\right)}}\le 2\iff 0\le f\left(x\right)\le 2$

Portanto, quando $p=q=r=s=1$, o valor máximo da função f é tal que:

$\boxed{máx\left(f\right)=2}$

b) Pelo enunciado, a função f é tal que:

$f\left(x\right)=-1+2·\cos \left(\mathrm{\pi }·x\right)$

É sabido que o período da função $g\left(x\right)=p+q·\cos \left(rx-s\right)$ é tal que:

$T=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|r\right|}$

Assim, o período da função f é:

$T=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|\mathrm{\pi }\right|}\iff \boxed{T=2}$

Analogamente ao item a) determinaremos o conjunto imagem da função f. Assim, temos:

$-1\le \cos \left(\mathrm{\pi }·x\right)\le 1$

Multiplicando a inequação por 2, temos:

$-2\le 2·\cos \left(\mathrm{\pi }·x\right)\le 2$

Subtraindo uma unidade, temos:

$-3\le \underset{f\left(x\right)}{\underbrace{-1+2·\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)}}\le 1\iff -3\le f\left(x\right)\le 1$

Logo, a amplitude de f, que é dada pela diferença entre seu máximo e seu mínimo, é:

$\boxed{A=1-\left(-3\right)=4}$

c) Dada a função $f\left(x\right)=p+q·\cos \left(rx-s\right)$, podemos relembrar os tipos de movimentos que são obtidos através dos parâmetros p, q, r e s.

O parâmetro p é responsável por transladar verticalmente a função.

O parâmetro q é responsável por uma dilatação vertical.

O parâmetro r é responsável por uma dilatação horizontal (responsável por modificar o período).

E o parâmetro s é responsável por uma translação horizontal.

Deste modo, observando o gráfico, temos:

Podemos observar que o máximo que a função assume é 3 e o mínimo é -2. Lembrando que o máximo que o cosseno assume é 1 e o mínimo que ele assume é -1, então substituindo, temos:

Para $\cos \left(rx-s\right)=1$.

$3=p+q·1$

Para $\cos \left(rx-s\right)=-1$.

$-2=p+q·\left(-1\right)\iff -2=p-q$

Montando o sistema, temos:

$\left\{\begin{array}{l}3=p+q\\ -2=p-q\end{array}\right.\iff 2p=1\iff \boxed{p=\frac{1}{2}}\iff \boxed{q=\frac{5}{2}}$

Ou seja, houve uma dilatação de fator $\frac{5}{2}$ na vertical, seguido de uma translação vertical para cima de $\frac{1}{2}$.

Observando agora os movimentos horizontais, temos que o período da função é igual a 4 (medida do segmento AB). Assim,

$T=4\Rightarrow \frac{2\mathrm{\pi }}{\left|r\right|}=4\Rightarrow r=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Assim, para $\boxed{r=\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$, houve uma dilatação horizontal de fator $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Assim, teríamos o gráfico abaixo:

Note, porém, que o máximo da função acima se dá para $x=0$ enquanto o máximo da função f se dá para $x=\frac{3}{2}$. Assim, houve uma translação horizontal de $\frac{3}{2}$ para a direita. Assim, temos que:

$$\begin{gathered} \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}·\frac{3}{2}-s\right)=1\Rightarrow \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}·\frac{3}{2}-s=0+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}·\frac{3}{2}-2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}=s, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow \\ \boxed{s=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}-2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}} \end{gathered}$$

Então, temos que $\boxed{p=\frac{1}{2}, q=\frac{5}{2}, r=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\text{ e }s=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$ satisfazem as condições do gráfico acima.

OBS: Observe que como a função cosseno é periódica, o candidato poderia utilizar infinitos valores de s junto aos valores de p, q e r acima citados. Bem como, no caso onde $\boxed{r=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$, teríamos infinitos outros valores de s que satisfariam a condição de máximo acima citada.

Cabe ressaltar, também, que o sistema resolvido para p e q acima poderia ser:

$\left\{\begin{array}{l}-2=p+q\\ 3=p-q\end{array}\right.\iff 2p=1\iff \boxed{p=\frac{1}{2}}\iff \boxed{q=-\frac{5}{2}}$

Sistema esse que encontraríamos um valor distinto para q.

Cabe pontuar que o enunciado solicita ao candidato que ele encontre valores que satisfaçam a condição descrita no gráfico, assim, poderiam ser escolhidos quaisquer um dos valores propostos acima.