Questão 2 Fuvest 2021 - 2ª fase - dia 2

a) A equação da reta com coeficiente angular $m$ passando pelo ponto $P\left(x_0,y_0\right)$ é dada por

$y-y_0=m\left(x-x_0\right)$

Para duas retas serem paralelas é necessário que elas possuam o mesmo coeficiente angular $m$.

Então, para determinar o coeficiente angular da reta pedida, devemos calcular o coeficiente angular da reta que passa por $P_1$ e $P_4$ :

$m=\frac{∆y}{∆x}=\frac{5-3}{-2-3}=-\frac{2}{5}$

Substituindo este valor e as coordenadas de $P_3\left(3,-1\right)$ na equação da reta, obtemos:

$y+1=-\frac{2}{5}\left(x-3\right) \Rightarrow 5y+5=-2x+6$

que é equivalente a

$\boxed{2x+5y-1=0}$

b) A circunferência pedida é a circunferência circunscrita ao triângulo de vértices em $P_1, P_2$ e $P_3$, cujo centro - o circuncentro - é o encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.

Para determinar as coordenadas do centro $C\left(x_C,y_C\right)$, vamos considerar a mediatriz do lado $P_1{P}_3$.

Uma vez que $P_1$ e $P_3$ estão na mesma reta vertical $x=3$, a mediatriz do lado $P_1{P}_3$ é uma reta horizontal (então tem a forma $y=\text{constante}$) passando pelo seu ponto médio.

As coordenadas do ponto médio de um segmento são obtidas através da média aritmética das respectivas coordenadas das extremidades do segmento:

$M=\left(\frac{x_1+x_3}{2},\frac{y_1+y_3}{2}\right)=\left(\frac{3+3}{2},\frac{3-1}{2}\right)=\left(3,1\right)$

Concluímos então, que a mediatriz do segmento $P_1{P}_3$ deve ser $y=\text{constante}=1$. Como o centro da circunferência pertence a essa mediatriz, a sua coordenada $y_C$ deve valer 1.

A partir desta informação, podemos usar que a distância do centro $C$ ao ponto $P_1$ é igual à distância do ponto $C$ ao ponto $P_3$:

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(x_C-3\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_C-5\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2} \Rightarrow {\left(x_C-3\right)}^2+4={\left(x_C-5\right)}^2 \\ \Rightarrow \cancel{{x_C}^2}-6x_C+9+4=\cancel{{x_C}^2}-10x_C+25 \\ \Rightarrow 4x_C=12 \Rightarrow x_C=3 \end{gathered}$$

Logo, o centro da circunferência é o ponto $\left(3,1\right)$.

Para determinar a circunferência completamente, basta determinar seu raio $r$. Ora, o raio é a distância do centro a um dos pontos da circunferência. Calculando a distância do centro a $P_1$, obtemos:

$r=\sqrt{{\left(3-3\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=2$

Lembrando que a equação da circunferência é da forma

${\left(x-x_C\right)}^2+{\left(y-y_C\right)}^2=r^2$

para os valores obtidos, temos

$\boxed{{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4}$

c) Note que os pontos de interseção da circunferência com o eixo $x$ têm coordenada $y=0$. Substituindo esta condição na equação da circunferência, obtemos:

${\left(x-3\right)}^2+{\left(0-1\right)}^2=4\Rightarrow {\left(x-3\right)}^2=3\Rightarrow x-3=\pm \sqrt{3}\Rightarrow x=3\pm \sqrt{3}$

O ponto $P$ é o mais próximo da origem, daí que devemos considerar $x=3-\sqrt{3}$ e

$P\left(3-\sqrt{3},0\right)$

Este ponto $P$ é o ponto de tangência da circunferência com a reta procurada. Lembrando que reta tangente é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência, podemos encontrar o coeficiente angular deste raio (que chamaremos de $m_{CP}$) e, sabendo que o coeficiente angular da reta perpendicular (que chamaremos de $m_t$) deve ser o oposto e inverso a este cooeficiente, poderemos encontar a equação da reta procurada:

$m_{CP}=\frac{y_P-y_C}{x_P-x_C}=\frac{0-1}{3-\sqrt{3}-3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Logo, o coeficiente da reta tangente deverá ser

$m_t=-\frac{1}{m_{CP}}=-\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}=-\sqrt{3}$

Substituindo este valor e as coordenadas de $P$ na equação da reta obtemos:

$t: y-0=-\sqrt{3}\left(x-3+\sqrt{3}\right)$

Logo, a equação da reta procurada é:

$\boxed{y=-\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-3}$