Fuvest 2020 - 2ª fase - dia 2

a) Um quadrado $3\times 3$ qualquer nessa tabela terá o formato:

A $S$ soma de seus nove elementos é dada por:

$S=\left(n-8\right)+\left(n-7\right)+\left(n-6\right)+\left(n-1\right)+n+\left(n+1\right)+\left(n+6\right)+\left(n+7\right)+\left(n+8\right)$

$\iff S=9n$

Assim, para qualquer natural $n$, a soma $S$ será um múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números terá 4 linhas e 4 colunas, no formato:

A soma $S$ de seus 16 elementos é dada por:

$S=16n+\left(1+2+3+7+8+9+10+14+15+16+17+21+22+23+24\right)$

$\iff S=16n+192$

Como queremos que tal soma seja 1.056, segue que:

$S=1056\iff 16n+192=1056\iff \boxed{n=54}$

c) Consideremos um quadrado $n\times n$, com menor número igual a 4, que terá o formato:

Observe que, independentemente do quadrado selecionado na tabela, ao longo de cada linha temos sempre progressões aritméticas de razão 1, e ao longo de cada coluna temos sempre progressões aritméticas de razão 7.

A soma $S_1$ dos elementos da primeira linha é dada por:

$S_1=\frac{\left(a_{11}+a_{1n}\right)·n}{2}=\frac{\left[4+4+\left(n-1\right)·1\right]·n}{2}=\frac{n^2+7n}{2}$

Para as próximas linhas, como cada elemento de uma linha aumenta 7 unidades em relação ao elemento imediatamente acima, a linha inteira deve aumentar de $n·7$ em comparação com a linha anterior.

Ou seja, as somas em cada linha formam por sua vez uma progressão aritmética PA $\left(S_1,S_2,S_3,\dots ,S_n\right)$ de razão $7n$. A soma $S$ de todos os números do quadrado $n\times n$ corresponderá, portanto, à soma dos $n$ termos dessa progressão aritmética:

$S=S_1+S_2+S_3+\cdots +S_n=\frac{\left(S_1+S_n\right)·n}{2}=\frac{\left[S_1+S_1+\left(n-1\right)·7n\right]·n}{2}\iff$

$S=\frac{\left[2S_1+7n^2-7n\right]·n}{2}=\frac{\left[2·\left({\displaystyle \frac{n^2+7n}{2}}\right)+7n^2-7n\right]·n}{2}=4n^3$

Fazendo essa soma igual a $108.000$, temos que:

$S=108000\iff 4n^3=108000\iff n^3=27000\iff \boxed{n=30}$

Observe que, em cada um dos passos, um segmento sempre dá origem a 4 novos segmentos, cada um com medida igual a $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$ da medida do segmento original. Veja na figura:

Assim, o número de lados $a_n$ da figura quadriplica a cada passo, isto é, aumenta em progressão geométrica de razão $q=4$, enquanto o comprimento $L_n$ de cada lado diminui em progressão geométrica de razão $q\text{'}=\frac{1}{3}$. Temos que:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_n=a_0·q^n=3·4^n\\ L_n=L_0·{\left(q\text{'}\right)}^n=1·{\left(\frac{1}{3}\right)}^n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n\end{array}\right.$

a) O número de lados no Passo 3 é dado por:

$a_3=3·4^3=\boxed{192\text{ lados}}$

b) No passo 5, o número de lados da figura é dado por:

$a_5=3·4^5$

Por outro lado, o comprimento de lado é dado por:

$L_5={\left(\frac{1}{3}\right)}^5$

Assim, o perímetro da figura no Passo 5, que é o produto do número de lados pelo comprimento de cada um, será igual a:

$a_5·L_5=3·4^5·\frac{1}{3^5}=\boxed{\frac{1024}{81}}$

c) Temos que:

$a_n>6·{10}^{12}\iff 3·4^n>6·{10}^{12}$

Dividindo ambos os membros da inequação por 6, o sinal da inequação se mantém:

 $\frac{{\left(2^2\right)}^n}{2}>{10}^{12}\iff 2^{2n-1}>{10}^{12}$

Aplicando logaritmo na base 10 em ambos os membros da inequação, o sinal da inequação se mantém, pois a base é maior que 1 (logaritmos em base maior que 1 são funções estritamente crescentes):

${\log }_{10}{2}^{2n-1}>{\log }_{10}{10}^{12}\iff \left(2n-1\right)·{\log }_{10}2>12\iff$

$\left(2n-1\right)·0,301>12\iff n>20,4\dots$

Assim, a partir do Passo 21 o número de lados da figura supera 6 trilhões.

a) Como a ordem em que as peças são escolhidas é irrelevante para a montagem de cada coleção, o total de coleções é dado por:

$\left(\begin{array}{c}16\\ 8\end{array}\right)=\frac{16!}{8! 8!}=\frac{16·15·14·13·\bcancel{12}·11·\bcancel{10}·9}{8·7·6·\bcancel{5!}}=\frac{\bcancel{2}·\cancel{8}}{\cancel{8}}·\frac{\bcancel{3}·5}{\bcancel{6}}·\frac{2·\sout{7}}{\sout{7}}·13·11·9=\boxed{12.870}$

b) Vamos impor que um dos jogadores receba 2 peças amarelas (das 4 existentes) e 6 peças das outras 3 cores (dentre as outras 12 peças). O total de coleções com 8 peças, sendo 2 amarelas, é dado por:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right)=\frac{4!}{2!·2!}·\frac{12!}{6!·6!}=\bcancel{\frac{4·3·2!}{2·2!}}·\frac{\bcancel{12}·11·\bcancel{10}·9·8·7·\cancel{6!}}{\bcancel{6!}·\cancel{6!}}=5.544$

Logo, a probabilidade é dada por:

$p=\frac{5.544}{12.870}=\frac{\cancel{11}·\bcancel{9}·8·7}{13·\cancel{11}·10·\bcancel{9}}\Rightarrow \boxed{p=\frac{28}{65}}$

c) Veja que precisamos descobrir as quantidades de cada formato para depois escolher as cores possíveis. Desse modo, as configurações possíveis são:

(1) 4 estrelas e 4 quadrados (SOMA 28):

$t_1=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=1·1=1$

(2) 4 estrelas, 3 quadrados e 1 triângulo (SOMA 27):

$t_2=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=1·4·4=16$

(3) 4 estrelas, 3 quadrados e 1 círculo (SOMA 26):

$t_3=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=1·4·4=16$

(4) 3 estrelas, 4 quadrados e 1 triângulo (SOMA 26):

$t_4=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=4·1·4=16$

(5) 4 estrelas, 2 quadrados e 2 triângulos (SOMA 26):

$t_5=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=1·6·6=36$

Logo, o total de possíveis coleções é dado por:

$T=1+16+16+16+36\Rightarrow \boxed{T=85 \mathrm{coleções}}$

a) Como a altura do trapézio coincide com o diâmetro da circunferência, temos:

Por trigonometria no triângulo $APB$:

$\mathrm{sen}\alpha =\frac{10}{AB}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{10}{AB} \therefore \boxed{AB=\frac{50}{3}}$.

b) Sabendo que $W$ e $X$ são pontos de tangência. Temos:

Veja que os triângulos $AXO$ e $AWO$ são congruentes pelo caso especial do triângulo retângulo. Assim, concluímos que:

(1) $\overline{AX}\equiv \overline{AW}$ (segmentos tangentes são sempre congruentes);

(2) $\theta =\frac{\alpha }{2}$

Para determinar a medida de $\overline{AX}$, precisamos determinar o valor de $\mathrm{tg}\theta$. Desse modo, calculemos:

(1) $\mathrm{tg}\alpha$:

Pela relação fundamental trigonométrica:

${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{4}{5}$.

Como $0°<\alpha <90°$, então $\cos \alpha =\frac{4}{5}$. Desse modo, temos:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{3}{5}}}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}\Rightarrow \mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$.

(2) $\mathrm{tg}\theta$:

Como $\theta =\frac{\alpha }{2}$, então:

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}\left(2·\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{2·\mathrm{tg}\left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)}{1-{\mathrm{tg}}^2\left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)}\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{2·\mathrm{tg}\theta }{1-{\mathrm{tg}}^2\theta }\Rightarrow 3{\mathrm{tg}}^2\theta +8\mathrm{tg}\theta -3=0$.

Resolvendo a equação quadrática na variável $\mathrm{tg}\theta$, temos:

$\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{3}$ ou $\mathrm{tg}\theta =-3$.

Se $0°<\alpha <90°$, então $0°<\theta <45°$. Então, $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{3}$.

Assim, por trigonometria no triângulo $AOW$, temos:

$\mathrm{tg}\theta =\frac{5}{AW}\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{5}{AW}\Rightarrow \boxed{AW=AX=15}$.

c) Sabendo que $X$, $Y$, $Z$ e $W$ são pontos de tangência. Então, concluímos, por segmentos tangentes, que:

(1) $AX=AW=15$

(2) $BX=BY=\frac{50}{3}-15=\frac{5}{3}$

(3) $CY=CZ=b$

(4) $DZ=DW=a$

Assim, temos a seguinte figura:

Veja que:

$CD=a+b=15$.

Logo, a área do trapézio é dada por:

$A=\frac{\left(AD+BC\right)·YW}{2}=\frac{\left(15+a+\frac{5}{3}+b\right)·\cancel{10}}{\cancel{2}}=\left(15+15+\frac{5}{3}\right)·5\Rightarrow \boxed{A=\frac{475}{3}}$.

Vamos iniciar expressando a função $f$ dada de uma outra maneira. Elevando ao quadrado ambos os membros da relação fundamental da Trigonometria (${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$), temos que:

${\left({\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2=1^2\iff {\mathrm{sen}}^{4}x+2·{\mathrm{sen}}^{2}x·{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x=1\iff$

${\mathrm{sen}}^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2·{\mathrm{sen}}^{2}x·{\cos }^{2}x\iff f\left(x\right)=1-2·{\mathrm{sen}}^{2}x·{\cos }^{2}x$

Como $2·\mathrm{sen}x·\cos x=\mathrm{sen}\left(2x\right)$, temos que:

$f\left(x\right)=1-\frac{2^2·{\mathrm{sen}}^{2}x·{\cos }^{2}x}{2}=1-\frac{{\left(2·\mathrm{sen}x·\cos x\right)}^2}{2}\iff f\left(x\right)=1-\frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}$

Usaremos essa expressão para a função $f$ ao longo da resolução.

Aliado a isso, observamos ainda que:

$0⩽x⩽\mathrm{\pi }\iff 0⩽2\mathrm{x}⩽2\mathrm{\pi }$

Isto é:

$x\in \left[0,\mathrm{\pi }\right]\iff 2x\in \left[0,2\mathrm{\pi }\right]$

a) Temos que:

$f\left(x\right)=1\iff 1-\frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}=1\iff \frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}=0\iff$

${\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)=0\iff \mathrm{sen}\left(2x\right)=0$

Como $2x\in \left[0,2\mathrm{\pi }\right]$, vem que:

$\mathrm{sen}\left(2x\right)=0\iff 2x=0\text{ ou }2x=\pi \text{ ou }2x=2\pi \iff$

$x=0\text{ ou }x=\frac{\pi }{2}\text{ ou }x=\pi$

Assim:

$\boxed{V_1=\left\{0,\frac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }\right\}}$

b) Temos que:

$f\left(x\right)=\frac{5}{8}\iff 1-\frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}=\frac{5}{8}\iff \frac{{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}{2}=\frac{3}{8}\iff$

${\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)=\frac{3}{4}\iff \mathrm{sen}\left(2x\right)=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Como $2x\in \left[0,2\mathrm{\pi }\right]$, vem que:

$\mathrm{sen}\left(2x\right)=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\text{ ou }2x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\text{ ou }2x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\text{ ou }2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}\iff$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}\text{ ou }x=\frac{\pi }{3}\text{ ou }x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\text{ ou }x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}$

Assim:

$\boxed{V_2=\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{\mathrm{\pi }}{3},\frac{2\mathrm{\pi }}{3},\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right\}}$

c) Temos que:

$\frac{1}{2}f\left(x\right)+\frac{3}{8}\mathrm{sen}\left(2x\right)⩾\frac{5}{8}\iff \frac{1}{2}·\left[1-\frac{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}}{2}\right]+\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 8}}\mathrm{sen}\left(2x\right)⩾\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 8}}\iff$

$\frac{1}{2}-\frac{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)}}{4}+\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 8}}\mathrm{sen}\left(2x\right)⩾\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 8}}$

Multiplicando a inequação toda por 8, o sinal da inequação se mantém, já que estamos multiplicando por um número positivo. Assim, ficamos com:

$4-2{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)+3\mathrm{sen}\left(2x\right)⩾5\iff 2{\mathrm{sen}}^2\left(2x\right)-3\mathrm{sen}\left(2x\right)+1⩽0$

Fazendo a troca de variável $\mathrm{sen}\left(2x\right)=t$, vem que:

$2t^2-3t+1⩽0$

Resolvendo graficamente essa inequação na variável $t$, temos:

Logo:

$\frac{1}{2}⩽t⩽1\iff \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}⩽\mathrm{sen}\left(2x\right)⩽1$

No ciclo trigonométrico:

Portanto:

$\frac{\mathrm{\pi }}{6}⩽2x⩽\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\iff \frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 12}}⩽x⩽\frac{{\displaystyle 5\mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 12}}$

Assim:

$\boxed{V_3=\left[\frac{\mathrm{\pi }}{12},\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right]}$

a) Seja $z=x+yi$ , com $x\in \mathrm{ℝ}$ e $y\in \mathrm{ℝ}$. Pelo enunciado, temos que:

$Re\left(z\right)=Im\left(z\right)\Rightarrow x=y$

Assim, podemos reescrever  $z$ da seguinte maneira:

$z=x+xi$

Agora, como cada elemento desse conjunto será transformado em seu conjugado, concluímos que todos os elementos  do conjunto resultante serão da forma:

$\overline{z}=x-xi$

Veja que os elementos resultantes podem ser representados no plano de Argand-Gauss pelos afixos $P$:

$\overline{z}=x-xi \Rightarrow P=\left(x, -x\right)$

Como os afixos $P$ tem coordenadas opostas, isso significa que os afixos pertencem à reta bissetriz dos quadrantes pares. Isto é:

$P \in y=-x$

Logo, a representação no plano é dada por:

b) Por propriedade dos números complexos, temos:

$w é imaginário puro\iff w=-\overline{w}$

Assim:

$\frac{z-1}{z+1}=-\overline{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}$

Pelas propriedades de conjugado, temos a seguinte manipulação:

$\overline{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}=\frac{\overline{z-1}}{\overline{z+1}}=\frac{\overline{z}-\overline{1}}{\overline{z}+\overline{1}}=\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1}$

Desse modo:

$\frac{z-1}{z+1}=-\frac{\overline{z}{\displaystyle -}{\displaystyle 1}}{\overline{z}{\displaystyle +}{\displaystyle 1}}\Rightarrow z·\overline{z}+z-\overline{z}-1=-z·\overline{z}+z-\overline{z}+1\Rightarrow z·\overline{z}=1$

Sendo $z=x+yi$, temos:

$z·\overline{z}=1\Rightarrow \left(x+yi\right)·\left(x-yi\right)=1\Rightarrow \boxed{x^2+y^2=1}$

Ou seja, o lugar geométrico é dado por uma circunferência centrada na origem e de raio unitário, exceto pelos pontos $\left(-1,0\right)$ e $\left(1,0\right)$.

Veja que não podemos utilizar o ponto...

(1) $\left(-1, 0\right)$: condição de existência da divisão. Veja que o denominador precisa ser diferente de zero, então $z\ne -1$. Assim, o lugar geométrico não passa por $\left(-1, 0\right)$.

(2) $\left(1,0\right)$: condição para ser imaginário puro. Veja que, se substituirmos no complexo dado, encontramos:

$\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0$

Como $0\in \mathrm{ℝ}$, então o ponto está excluído.

Desse modo, temos a seguinte representação no plano de Argand-Gauss:

c) Representando os complexos no plano de Argand-Gauss, encontramos:

Veja que os triângulos $ABP$ e $ABP\text{'}$ são equiláteros e o triângulo $ABO$ é isósceles e retângulo, sendo $O$ a origem do plano. Desse modo, ao traçar a mediatriz de $\overline{AB}$, concluímos que esta passa pela origem e contém os pontos $P$ e $P\text{'}$, que são os possíveis afixos para o complexo $z$.

Assim, temos:

Veja que a reta $r$, além de passar pela origem, faz ângulo de $45°$ com o eixo real. Logo, a reta é a bissetriz dos quadrantes ímpares. Ou seja:

$r: y=x$

Como o ponto $P$ pertence à reta $r$, então podemos escrever suas coordenadas como $P=\left(x, x\right)$.

Considere, agora, o triângulo $PMB$. Por trigonometria no triângulo retângulo:

$\cos 60°=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}{PB}\Rightarrow PB=\sqrt{2}$

Desse modo, temos:

$d_{P,B}=\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(x-0\right)}^2}=\sqrt{2}\Rightarrow 2x^2-2x-1=0$

Resolvendo a equação quadrática, encontramos:

$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ ou $x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

Logo, as partes reais de todos os complexos z são: 

$\boxed{x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}} e \boxed{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}$